Родился 27 марта 1963 г. в Севастополе (Украинская ССР, ныне - в составе РФ).
В 1985 г. окончил Черноморское высшее военно-морское училище им. П. С. Нахимова (Севастополь), в 2000 г. - Военно-морскую академию им. Адмирала Флота Советского Союза Н. Г. Кузнецова (Санкт-Петербург), в 2009 г. - Военную академию Генерального штаба Вооруженных сил РФ в Москве.
Офицерскую службу в рядах Военно-морского флота (ВМФ) СССР начал на Тихоокеанском флоте (ТОФ) командиром зенитно-ракетной батареи эскадренного миноносца "Стойкий". Далее на ТОФ был командиром ракетно-артиллерийской боевой части (БЧ-2) эскадренного миноносца "Безбоязненный", флагманским специалистом по ракетному оружию дивизии ракетных кораблей ТОФ, старшим помощником командира гвардейского ракетного крейсера "Варяг", командиром эскадренного миноносца "Быстрый" (2000-2002).
Позднее служил начальником штаба, а затем командиром 36-й дивизии надводных кораблей Тихоокеанского флота.
В 2009-2012 гг. - командир Балтийской военно-морской базы Балтийского флота ВМФ РФ.
27 января 2012 г. был назначен заместителем командующего Черноморским флотом (ЧФ) ВМФ РФ Александра Федотенкова.
С 7 февраля 2013 г. по май 2016 г. - начальник штаба - первый заместитель командующего ЧФ Александра Витко.
С 17 мая 2016 г. занимал должность руководителя Военного учебно-научного центра (ВУНЦ) ВМФ "Военно-морская академия им. Адмирала Флота Советского Союза Н. Г. Кузнецова". 3 октября 2016 г. этот пост занял вице-адмирал Владимир Касатонов.
1 июля 2016 г. был назначен и. о. командующего Балтийским флотом. Заменил в этой должности вице-адмирала Виктора Кравчука, который был отстранен от должности за "упущения в боевой подготовке, а также искажение в докладах реального состояния дел".
17 сентября 2016 г. президент РФ Владимир Путин своим указом назначил Александра Носатова командующим Балтийским флотом.
5 октября 2021 г. министр обороны РФ Сергей Шойгу сообщил, что адмирал Носатов назначен на должность начальника Главного штаба ВМФ - первого заместителя главкома ВМФ.
Адмирал (с 12 декабря 2018 г.).
Награжден орденами "За военные заслуги", "За морские заслуги", медалями Минобороны РФ.