Родился 21 ноября 1952 г. дер. Пажобрис (Расейнский район Каунасской области Литовской ССР, ныне - Литовская Республика) в крестьянской семье.
В 1971 г. поступил на актерское отделение Вильнюсской государственной консерватории (ныне - Литовская академия музыки и театра), однако в 1973 г. перевелся на режиссерское отделение Государственного института театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне - Российский институт театрального искусства - ГИТИС, Москва). Окончил его в 1978 г. Выпускник мастерской народного артиста СССР Андрея Гончарова.
В 1978-1979 гг. - режиссер Государственного молодежного театра Литовской ССР (Вильнюс).
В 1979-1980 гг. Эймунтас Някрошюс работал в Каунасском государственном драматическом театре, где поставил спектакли "Легенды Дуокишкиса" по повести Саулюса Шальтяниса и "Иванов" по пьесе Антона Чехова.
В 1980-1991 гг. вновь был режиссером Государственного молодежного театра Литовской ССР. Поставил на его сцене спектакли: "Квадрат" по документальной повести Валентины Елисеевой, "Пиросмани, Пиросмани" по пьесе Владимира Коростылева "Праздник одиночества", "И дольше века длится день" по роману Чингиза Айтматова, "Дядя Ваня" по произведению Антона Чехова и др.
В 1990-х гг. Эймунтас Някрошюс сотрудничал с международным театральным фестивалем "Лайф" (Литва), в рамках которого осуществил постановки "Маленьких трагедий" Александра Пушкина, "Трех сестер" Антона Чехова и "Гамлета" Уильяма Шекспира.
В 1998 г. создал в Вильнюсе драматический театр Meno Fortas (лит. "Форт искусств"). С этого времени и до конца жизни являлся его художественным руководителем. Поставил в нем спектакли: "Макбет" и "Отелло" по трагедиям Уильяма Шекспира, "Фауст" по произведению Иоганна Вольфганга Гете, "Идиот" по роману Федора Достоевского, "Божественная комедия" по поэме Данте Алигьери, "Мастер Голода" по рассказу Франца Кафки "Голодарь" и др. Последней работой режиссера в Литве в 2017 г. стал спектакль "Цинк", созданный по произведениям белорусской писательницы Светланы Алексиевич.
В 2011 г. в Государственном театре наций (Москва) осуществил постановку пьесы Альбера Камю "Калигула", в 2017 г. в Хорватском национальном театре (Загреб) - пьесы Антона Чехова "Иванов".
Эймунтас Някрошюс также был известен как оперный режиссер. В "Театро комунале" (Флоренция, Италия) он поставил оперы Джузеппе Верди "Макбет" (2002) и Модеста Мусоргского "Борис Годунов" (2005), в Государственном академическом Большом театре (Москва) - "Макбет" Верди (2003) и "Дети Розенталя" Леонида Десятникова (2005), в Литовском национальном театре оперы и балета (Вильнюс) - "Валькирия" Рихарда Вагнера (2007) и "Отелло" Джузеппе Верди (2011), в "Ла Скале" (Милан, Италия) - "Фауст" Шарля Гуно (2010).
Эймунтас Някрошюс скончался 20 ноября 2018 г. в Вильнюсе на 66-м году жизни. Похоронен в г. Шилува (Литва).
Народный артист Литовской ССР (1988).
Был награжден орденами Великого князя Литовского Гядиминаса (1998) и "За заслуги перед Литвой" (2003), князя Ярослава Мудрого IV степени (Украина, 2006).
Являлся лауреатом Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры (1987, за спектакли "И дольше века длится день" и "Дядя Ваня"), Государственной премии РФ в области литературы и искусства 1999 г. (за международные рождественские фестивали искусств, программы "Весь мир - наш дом", "Театр "Глобус" - детям-сиротам").
Был отмечен европейской премией "Театральная реальность" (1994), Международной премией Станиславского (2001) и др.
В 2013 г. стал почетным доктором Литовской академии музыки и театра.
Эймунтас Някрошюс был женат на Надежде Гультяевой (род. 1949, сценограф). Имел сына Мариуса (род. 1976, театральный художник).