Родился 26 января 1953 г. в Москве в семье военнослужащего.
В 1976 г. окончил Московский авиационный институт им. С. Орджоникидзе (ныне Московский авиационный институт - Национальный исследовательский университет, МАИ), получив диплом инженера-механика по летательным аппаратам. Затем поступил в аспирантуру МАИ.
В 1983 г. стал выпускником вечернего отделения инженерного потока механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по специальности "прикладная математика".
Доктор технических наук (2005). Диссертацию на ученую степень кандидата технических наук защитил в 1979 г. в МАИ по теме "Исследование применения радиационного нагрева для совмещенного процесса листовой штамповки с закалкой при изготовлении деталей летательных аппаратов из термоупрочняемых алюминиевых сплавов". После аспирантуры в 1980-х гг. работал научным сотрудником в МАИ.
В 1990 г. был приглашен в качестве эксперта на переговоры по обычным вооруженным силам в Европе (ДОВСЕ), участвовал при подготовке Договора по открытому небу. В 1994 г. стал первым секретарем Постоянного представительства РФ при Организации Объединенных Наций (ООН) в Нью-Йорке (США), где отвечал за договоры по запрещению испытаний ядерного оружия, нераспространению ядерного оружия и др. В 1997 г. был назначен старшим советником Департамента по вопросам безопасности и разоружения Министерства иностранных дел (МИД) РФ.
С 1998 г. Борис Обносов работал в сфере военно-технического сотрудничества с зарубежными странами на ответственных должностях в государственных компаниях - экспортерах вооружений и военной техники. В 1998-2000 гг. был заместителем генерального директора ФГУП "Российские технологии", ФГУП "Промэкспорт - оборонные технологии", советником генерального директора ФГУП "Промэкспорт" (с 2000 г. - ФГУП "Рособоронэкспорт"). В 2001-2003 гг. являлся советником генерального директора, начальником управления оборонных технологий и космоса, начальником Департамента оборонных технологий и космоса ФГУП "Рособоронэкспорт" (ныне АО "Рособоронэкспорт" в составе госкорпорации "Ростех"). В феврале 2003 г. стал исполняющим обязанности генерального директора ФГУП "Государственный научно-производственный центр "Звезда-Стрела" (г. Королев, Московская обл.), на базе которого в марте 2003 г. было образовано ОАО "Корпорация "Тактическое ракетное вооружение" (КТРВ). 13 марта 2003 г. Борис Обносов был утвержден на должность генерального директора КТРВ.
Действительный член Российской академии космонавтики им. К. Э. Циолковского и Российской академии ракетных и артиллерийских наук, профессор. С 2009 г. является заведующим кафедрой "Авиационные робототехнические системы" МАИ.
С 2013 г. входит в состав Научно-технического совета Военно-промышленной комиссии при правительстве РФ. С 2015 г. возглавляет Совет директоров предприятий оборонно-промышленного комплекса, расположенных на территории Московской обл. при губернаторе Подмосковья. Является заместителем председателя Московского областного союза промышленников и предпринимателей (МОСПП) и заместитель председателя правления МОСПП, а также членом бюро правления Союза машиностроителей России.
Генерал-майор в отставке.
Герой РФ (2021, "за значительный вклад в укрепление обороноспособности страны и высокий профессионализм, проявленный при решении задач особой государственной важности"). Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" III и IV степени (2017, 2012), Дружбы (2008), отмечен благодарностью президента РФ (2018).
Лауреат Государственной премии РФ в области науки и технологий (2015) и двух премий правительства РФ в области науки и техники (2007, 2014).
Почетный гражданин г. Королева (2012) и Московской обл. (2019).
Является автором более 100 научных трудов и патентов, связанных с совершенствованием организации разработок и производства военной техники.