Родился 7 июля 1936 г. в г. Тобольске Омской области (ныне город входит в состав Тюменской обл.) в семье служащих.
В 1959 г. окончил Уральский государственный университет (ныне входит в состав Уральского федерального университета), в 1965 г. - аспирантуру этого же университета.
Доктор физико-математических наук (1971). Профессор (1975). В 1987 г. был избран академиком Академии наук (АН) СССР (ныне - Российская академия наук, РАН).
После окончания университета работал инженером на одном из оборонных предприятий Свердловска (ныне - Екатеринбург).
В 1961-1969 г. - аспирант, ассистент, доцент математико-механического факультета Уральского государственного университета.
В 1969 г. начал работать старшим научным сотрудником Свердловского отделения Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, который в том же году был преобразован в Институт математики и механики (ИММ) Уральского филиала (затем научного центра) АН СССР. Затем заведовал лабораторией (1972-1978) и отделом дифференциальных уравнений (1978-1986) института. С октября 1986 г. по 1993 г. являлся директором ИММ. В настоящее время - главный научный сотрудник Института математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН.
С 1989 г. - профессор Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (МГУ). С 1990 г. по н. в. заведует кафедрой оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики университета. В 2018 г. Юрию Осипову было присвоено звание почетного доктора МГУ.
23 марта 1991 г. постановлением президиума Верховного совета РСФСР был назначен президентом - организатором Российской академии наук, которая стала правопреемницей АН СССР на территории России. С 17 декабря 1991 г. по 29 мая 2013 г. являлся президентом РАН; переизбирался на этот пост в 1996, 2001, 2006 и 2008 гг.
В 1993-2004 гг. был директором Математического института им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). В настоящее время - главный научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений МИАН.
С 29 мая 2013 г. по н. в. - советник Российской академии наук. Член бюро Отделения математических наук (с мая 2013 г.) и Уральского отделения РАН.
Являлся членом Совета безопасности РФ (1997-2013), председателем Комиссии при президенте РФ по государственным премиям РФ в области науки и техники (1992-2005). Был заместителем председателя Совета при президенте РФ по науке, технологиям и образованию (ныне Совет при президенте РФ по науке и образованию; 2010-2013), в н. в. - член этого совета (по согласованию).
Лауреат Ленинской премии (1976), Государственной премии РФ в области науки и техники (1993). Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1981), "За заслуги перед Отечеством" I (2006), II (1999), III (1996) и IV (2013) степеней, Александра Невского (2011), Почета (2016). Удостоен многих иностранных наград.
Отмечен золотыми медалями им. Л. Эйлера (РАН; 1997) и А. Эйнштейна (ЮНЕСКО, 1999).
Почетный член Московского математического общества. Почетный профессор (1996) и заслуженный профессор (1999) МГУ. Почетный доктор Санкт-Петербургского государственного университета (2000), Казанского (Приволжского) федерального университета (2004). Почетный член и доктор ряда зарубежных академий, университетов, научных и образовательных центров.
Автор более 170 книг, статей и других научных публикаций. Юрий Осипов - специалист в области прикладной математики и механики. Основные научные исследования посвящены теории управления, дифференциальным уравнениям и их приложениям. Разработал теорию дифференциальных игр для динамических систем с запаздывающим аргументом, открыл конструктивный локальный принцип управления системами с запаздыванием и др.
Женат, имеет дочь и сына.