Родился 11 июля 1916 г. (26 июня по старому стилю) в г. Атертоне (штат Квинсленд, Австралия) в семье российского рабочего-революционера. Его родители, Михаил Иванович и Мария Ивановна Прохоровы, переехали в 1912 г. в Австралию из Сибири, куда отец был сослан за революционную деятельность. После Октябрьской революции (1917), в 1923 г. семья вернулась на родину. Сначала Прохоровы жили в Оренбурге (родной город его матери), затем в Ташкенте (Узбекистан), а в 1930 г. переехали в Ленинград (ныне - Санкт-Петербург).
В 1934 г. Александр Прохоров поступил на физический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ; ныне - Санкт-Петербургский государственный университет), который окончил в 1939 г. с отличием. Затем, в 1946 г. - аспирантуру Физического института им. П.Н. Лебедева Академии наук СССР (ФИАН) в Москве.
Доктор физико-математических наук (1951; тема диссертации: "Синхротронное излучение электронов в циклотроне в сантиметровом диапазоне волн"). Профессор (1954). Академик АН СССР (1966), затем Российской академии наук (РАН).
После окончания ЛГУ был приглашен в Москву в аспирантуру ФИАН.
Во время Великой Отечественной войны с октября 1941 г. воевал в звании старшего лейтенанта в стрелковых частях на Северо-Западном и Западном фронтах, дважды был ранен, в 1944 г. демобилизован.
В феврале 1944 г. вернулся в Физический институт им. П.Н. Лебедева АН СССР и продолжил обучение в аспирантуре, а после ее окончания в 1946 г. был назначен старшим научным сотрудником. С 1948 г. начал заниматься исследованиями в новом для СССР научном направлении - радиоспектроскопии. В 1954 г. возглавил лабораторию колебаний ФИАН. В 1959-1964 гг. заведовал сектором молекулярных усилителей института. В 1968-1982 гг. занимал должность заместителя директора ФИАН и одновременно руководил Отделением "А", в которое входили три лаборатории: колебаний; физики плазмы; физики твердого тела.
В 1954 г. стал профессором Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (МГУ). В 1980-1988 гг. - заведующий кафедрой оптики и спектроскопии Физического факультета МГУ (на общественных началах).
В 1960 г. был избран членом-корреспондентом, а в 1966 г. - академиком АН СССР. Являлся заместителем председателя Всесоюзного научного совета по радиофизике и радиотехнике (1961-1964), членом бюро Отделения общей и прикладной физики (1963-1971) академии. С 1971 г. по 2002 г. - член Президиума АН СССР (впоследствии - РАН). Занимал должность академика-секретаря Отделения общей физики и астрономии (1973-1991). С 1992 г. по 2002 г. возглавлял Объединенный научный совет по комплексной проблеме "Оптика". В 1990 г. был включен в состав Комиссии по разработке проекта устава Российской академии наук. С 1992 г. по 2002 г. являлся советником Президиума РАН. В 1996-2002 гг. - член бюро Отделения общей физики и астрономии РАН.
В 1971-2001 гг. заведовал кафедрой лазерной физики Московского физико-технического института (на общественных началах).
В 1982 г. выступил организатором Института общей физики АН СССР (ИОФАН; впоследствии - ИОФ РАН), который был создан на базе Отделения "А" ФИАН и стал его директором; возглавлял институт до 1998 г. В 1990-е гг. при институте был образован ряд научных центров, Александр Прохоров возглавил один из них - Центр естественно-научных исследований (1996-2002). С 1998 г. по 2002 г. являлся почетным директором ИОФ РАН.
С 1991 г. по 2002 г. был президентом Академии инженерных наук РФ.
Входил в состав Комитета по Ленинским и Государственным премиям СССР в области науки и техники при Совете министров СССР и Комитета по Государственным премиям РФ в области науки и техники при Президенте РФ (в 1971-2002 гг.), Совета по научно-технической политике при Президенте РФ (1995-2002), попечительского совета Федерального фонда производственных инноваций (1997-2002).
Был председателем научно-редакционного совета издательства "Советская энциклопедия" (1969-1991), главным редактором "Большой советской энциклопедии" (1971-1990), затем председателем научно-редакционного совета научного издательства "Большая российская энциклопедия" (1992-2001). Организатор и главный редактор международного научного журнала Laser Physics (1991-2002). Входил в редколлегии многих научных журналов.
Являлся вице-президентом Международного научного радиосоюза (URSI, УРСИ; 1961-1965) и председателем Советского национального комитета УРСИ (1964-1972). Возглавлял Национальный комитет советских физиков (впоследствии - Национальный комитет российских физиков; с 1973 г.).
Александр Прохоров - один из основоположников квантовой электроники и лазерной физики, специалист в области квантовой радиотехники и электроники. Совместно с советским физиком Николаем Басовым сформулировал основные принципы квантового усиления и генерации электромагнитных волн, которые легли в основу создания первого квантового генератора (мазера) на аммиаке (1954-1955). Предложил применение рубина в квантовой электронике, выдвинул идею открытых резонаторов, используемых в лазерной технике (1958), и идею создания газодинамического лазера (1967). Открыл светогидравлический эффект (1963: вместе с Гургеном Аскарьяном и Георгием Шипуло) и явление многофокусности волнового пучка в нелинейной среде (1967).
Скончался 8 января 2002 г. в Москве, похоронен на Новодевичьем кладбище.
Дважды Герой Социалистического Труда (1969, 1986). Лауреат Ленинской (1959) и Государственной премий СССР (1980), премий Совета министров СССР (1988; 1989), Государственной премии РФ в области науки и техники (1998), Премии Правительства РФ за 2003 г. в области науки и техники (посмертно).
Кавалер пяти орденов Ленина (1967, 1969, 1975, 1981, 1986). Награжден орденами Отечественной войны I степени (1985), "За заслуги перед Отечеством" II степени (1996), медалями "За отвагу" (1946), "Серп и Молот" (1969, 1986), "Ветеран Труда" (1985), "Георгий Жуков" (1995) и др. Отмечен благодарностью Президента РФ (2000).
За фундаментальные исследования в области квантовой электроники, приведшие к созданию лазеров и мазеров в 1964 г. был удостоен Нобелевской премии по физике, разделил ее с Николаем Басовым и американским физиком Чарлзом Таунсом (Charles Townes).
Отмечен наградами АН СССР: премией им. Л.И. Мандельштама (1948) и Золотой медалью им. М.В. Ломоносова (1988).
Автор ряда фундаментальных работ по созданию мощных лазеров инфракрасного и видимого излучений, по нелинейной оптике, резонансному и нерезонансному взаимодействию мощного лазерного излучения с веществом.
Был женат на Галине Алексеевне Прохоровой (в девичестве - Шелепина; 1913-1993), выпускнице географического факультета МГУ. Сын - Кирилл (род. в 1945 г.), кандидат физико-математических наук, заведует лабораторией гиперкомбинационных рассеяний ИОФ РАН.