Родился 20 декабря 1940 г. в Белостоке (на тот момент - Белостоцкая обл. Белорусской ССР, ныне - Польша).
После окончания художественного училища в Тбилиси поступил на факультет промышленной эстетики Московского высшего художественно-промышленного училища (ныне - Московская художественно-промышленная академия имени С. Г. Строганова). Окончил его в 1968 г.
В 1970 г. начал работать на творческом объединении "Экран". Первое режиссерской работой Анатолия Резникова в 1971 г. стала музыкальная сказка "Соломенный бычок".
В 1975 г. вышел первый мультфильм Резникова из серии "Кот Леопольд", снятый по сценарию Аркадия Хайта. Впоследствии вышли десять фильмов серии, а в 1993 г. - четырехсерийный пародийный фильм "Возвращение кота Леопольда".
Среди других значимых работ - "Клякса" (1980), "Раз ковбой, два ковбой" (1981), "Чертенок с пушистым хвостом" (1985). Всего, работая на ТО "Экран", создал почти 40 мультипликационных фильмов, большинство из них - в сотрудничестве с художником-постановщиком Вячеславом Назаруком.
В 2010 г. на студии "Кристмас филмз" снял мультфильм "Приключения котенка и его друзей" (был также автором сценария). В 2015 г. совместно с итальянской студией Mondo TV ("Мондо ТВ") выпустил 13-серийный мультфильм "Новые приключения кота Леопольда" (премьера состоялась в начале 2016 г.).
Скончался 31 января 2018 г. на 78-м году жизни в Золингене (Германия).
Заслуженный деятель искусств РФ (2012).
Лауреат Государственной премии СССР за мультфильмы о коте Леопольде (1985, вместе со сценаристом Аркадием Хайтом и художником-постановщиком Вячеславом Назаруком).