Родился 21 февраля 1946 г. в Лондоне, в рабочей семье, был третьим из четырех детей. Когда Алану было восемь лет, его отец умер, и семья столкнулась со значительными трудностями.
Во время учебы в младшей школе Деруэнт-Уотер Алан Рикман выиграл стипендию на обучение в престижной лондонской школе Латимер (Latymer Upper School), где впервые принял участие в любительских театральных постановках. В дальнейшем учился в Колледже искусств и дизайна в Челси и в Королевском колледже искусств.
В студенческие годы подрабатывал в качестве графического дизайнера в редакции газеты Notting Hill Herald.
После окончания колледжа в Челси стал одним из основателей успешной дизайн-студии Graphiti ("Графити"), однако вскоре принял решение профессионально заняться актерской игрой.
В 1972-1974 гг. изучал творчество Уильяма Шекспира в Королевской академии драматического искусства (RADA). Одновременно работал костюмером у театральных актеров Найджела Хоторна и Ральфа Ричардсона.
После окончания RADA, во второй половине 1970-х гг. играл в экспериментальных театральных труппах, сотрудничал с "Королевской шекспировской компанией". Первый большой успех Алану Рикману принесло исполнение роли виконта де Вальмона в постановке по роману "Опасные связи" Пьера Шодерло де Лакло (в 1986 г.).
В 1978 г. впервые снялся в телеспектакле (роль Тибальта в постановке "Ромео и Джульетты" для британского канала BBC). Всего сыграл более чем в 50 кино- и телевизионных фильмах, в их числе "Крепкий орешек" (1988), "Робин Гуд, принц воров" (1991), "Разум и чувства" (1995), "Распутин" (1996), "Догма" (1999), "Реальная любовь" (2003), "Автостопом по галактике" (2005), "Парфюмер. История одного убийцы" (2006) и др. Исполнил роль профессора Снегга в экранизациях цикла романов Джоан Роулинг о мальчике-маге Гарри Поттере. Имел несколько режиссерских работ: спектакль и кинофильм "Зимний гость" (1995-1996), спектакль "Меня зовут Рэйчел Корри" (2005).
Скончался 14 января 2016 г. в Лондоне.
Лауреат премии BAFTA Британской академии кино и телевидения (1992; за лучшую мужскую роль второго плана в фильме "Робин Гуд, принц воров"); премии "Эмми" (1996; лучшая мужская роль в мини-сериале "Распутин"); обладатель "Золотого глобуса" и премии Гильдии киноактеров США (1997; также за роль в "Распутине"). В 2010 г. Литературно-историческое сообщество университета Дублина присудило Алану Рикману премию имени Джеймса Джойса. В 2011 г. награжден памятным кубком MTV за роль профессора Снегга в киносериале о Гарри Поттере. Обладатель ряда других премий и наград.
С 1977 г. состоял в гражданском браке с преподавательницей экономики Римой Хортон, в 2012 г. они официально поженились. Детей у пары не было.