Родился 13 сентября 1951 г. гор. Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) в семье Якова Шмарьевича Розенбаума (род. 1923; участник Великой Отечественной войны 1941-1945 гг.) и Софьи Семеновны Миляевой (1929-2009). Первые годы жизни провел в гор. Зыряновске (Казахская ССР, ныне Казахстан), где его родители работали по распределению в местной больнице. В шесть лет с семьей вернулся в Ленинград.
Окончил музыкальную школу по классу фортепиано. Также занимался в боксерской секции. В подростковом возрасте научился играть на гитаре.
В 1968 г. Александр Розенбаум поступил в Первый Ленинградский медицинский институт им. И. П. Павлова (ныне Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет им. академика И. П. Павлова). В студенческие годы был участником вокально-инструментальных ансамблей (ВИА) "Адмиралтейство" и "Аргонавты". В 1974 г. окончил вуз по специальности "анестезиология-реаниматология", после чего на протяжении пяти лет работал врачом скорой помощи. Параллельно обучался на вечернем отделении музыкального училища при Дворце культуры им. С. М. Кирова по классу джазовой аранжировки.
В 1975-1977 гг. выступал в ВИА "Шестеро молодых", в 1980-1983 гг. - в ВИА "Пульс" и "Поющие гитары", входивших в состав Ленконцерта. Использовал псевдоним Александр Аяров.
Первые сольные выступления Александра Розенбаума "под гитару" прошли в ряде городов СССР в конце 1970-х гг. Первоначально он получил известность за так называемый одесский цикл с "блатными" песнями ("Гоп-стоп", "Мы с ним росли в одном дворе" и др.). Эти композиции распространялись самиздатом - на аудиокассетах, которые были записаны в ходе выступлений. Впоследствии ведущее место в репертуаре Розенбаума заняли военные песни (он неоднократно бывал в Афганистане во время советско-афганского военного конфликта 1979-1989 гг. и выступал перед советскими военнослужащими), а также философско-лирические композиции и стилизации под казачий фольклор.
Первый официальный сольный концерт певца состоялся 14 октября 1983 г. в ленинградском Доме культуры милиции им. Ф. Э. Дзержинского (ныне Культурный центр ГУ МВД России по Санкт-Петербургу и Ленинградской области).
Среди наиболее известных песен Александра Розенбаума - "Утиная охота", "Вальс-бостон", "Вещая судьба", "Есаул", "Ау", "Налетела грусть", "Покажите мне Москву".
Выпустил около 30 сольных музыкальных альбомов. Является автором ряда стихотворных сборников ("Белая птица удачи", "Синяя птица мечты", "Крылья Пегаса" и др.).
Песни Александра Розенбаума звучат в 20 фильмах и сериалах.
Снимался в фильмах "Побег на край света" (1991, режиссер Александр Майоров), "Чтобы выжить" (1993, Всеволод Плоткин), "Не хлебом единым" (2005, Станислав Говорухин), "Сайд-степ" (2008, Марина Мигунова).
Председатель общественного совета при управлении Федеральной службы исполнения наказаний по Санкт-Петербургу и Ленинградской области.
В 2003-2007 гг. Александр Розенбаум являлся депутатом Государственной думы РФ IV созыва. Был избран 7 декабря 2003 г., баллотировался под третьим номером в региональном избирательном списке политической партии "Единая Россия" по Санкт-Петербургу. Входил в состав фракции "Единая Россия", занимал должность заместителя председателя комитета по культуре.
Народный артист России (2001). Награжден орденами Почета (2011) и "За заслуги перед Отечеством" II степени (2021).
Александр Розенбаум неоднократно становился лауреатом музыкальных премий "Шансон года" и "Золотой граммофон".
Женат вторым браком. Супруга - врач Елена Савшинская. Дочь Анна (род. 1976) - филолог.