Родился 20 октября 1997 г. в Москве. Его отец - Андрей Владимирович Рублев - бывший профессиональный боксер, ныне предприниматель. Мать - заслуженный тренер РФ Марина Андреевна Марьенко.
Выпускник кафедры теории и методики тенниса Российского государственного университета физической культуры, спорта, молодежи и туризма (Москва).
Андрей Рублев начал заниматься теннисом в три года под руководством матери в спортивной школе олимпийского резерва "Юность Москвы".
В 2007 и 2008 гг. в Москве становился победителем детского турнира "Кубок Андрея Ольховского и Евгении Манюковой".
В 2010 г. в Нарве (Эстония) выиграл юниорский турнир Narva Cup в парном разряде (вместе с россиянином Евгением Тюрневым).
В 2011 и 2012 гг. Андрей Рублев в числе нескольких молодых российских теннисистов становился стипендиатом Фонда первого президента России Бориса Ельцина.
В 2012 г. в Плантейшене (шт. Флорида, США) выиграл престижный международный юниорский турнир Orange Bowl среди участников до 16 лет. В решающем матче взял верх над американцем Томми Полом.
В 2013 г. в Брейдентоне (шт. Флорида, США) стал победителем турнира серии "Фьючерс", проводимой Международной федерацией тенниса (International Tennis Federation, ITF). В финале нанес поражение Мартиньшу Поджусу (Латвия). В дальнейшем на протяжении карьеры выиграл еще три турнира этой серии в одиночном разряде.
В 2014 г. в Нанкине (Китай) Андрей Рублев завоевал две медали на II летних юношеских Олимпийских играх: серебро в парном разряде (вместе с Кареном Хачановым) и бронзу - в одиночном.
В 2014 г. в Париже выиграл юниорский турнир в рамках Открытого чемпионата Франции. В решающем матче нанес поражение испанцу Хауме Мунару.
В 2014 г. Андрей Рублев получил профессиональный статус.
В 2016 г. в Кемпере (Франция) стал победителем турнира серии "Челленджер" Ассоциации теннисистов-профессионалов (Association of Tennis Professionals, ATP). В финале взял верх над хозяином соревнований Полем-Анри Матьё.
На протяжении карьеры Андрей Рублев выиграл 12 турниров мировой серии АTP в одиночном разряде (2017 - Умаг, Хорватия; 2019 - Москва; 2020 - Доха, Катар; Аделаида, Австралия; Гамбург, Германия; Санкт-Петербург; Вена, Австрия; 2021 - Роттердам, Нидерланды; 2022 - Марсель, Франция; Дубай, ОАЭ; Белград, Сербия; Хихон, Испания).
Победитель трех турниров мировой серии ATP в парном разряде. В 2015 г. выиграл московский "Кубок Кремля" вместе с россиянином Дмитрием Турсуновым. В 2021 г. вместе с соотечественником Асланом Карацевым первенствовал на турнире в Дохе. В 2022 г. в паре с украинцем Денисом Молчановым выиграл турнир в Марселе.
В феврале 2021 г. в Мельбурне (Австралия) Андрей Рублев в составе сборной России выиграл Кубок Ассоциации теннисистов-профессионалов (вместе с Евгением Донским, Асланом Карацевым и Даниилом Медведевым). В финале этого командного турнира с участием 12 сборных россияне взяли верх над итальянцами.
1 августа 2021 г. вместе с соотечественницей Анастасией Павлюченковой стал победителем теннисного турнира в смешанном разряде в рамках XXXII летних Олимпийских игр в Токио (Япония). В финале они нанесли поражение другому российскому дуэту - Елене Весниной и Аслану Карацеву.
В декабре 2021 г. в Мадриде (Испания) в составе сборной России стал победителем Кубка Дэвиса по теннису.
В настоящее время тренером спортсмена является испанский специалист Фернандо Висенте.
С 9 января 2023 г. - первая ракетка России.
В текущем одиночном рейтинге ATP Андрей Рублев занимает шестое место. На протяжении карьеры он заработал 15 млн долларов призовых.
Заслуженный мастер спорта РФ (2021).
Награжден орденом Дружбы (2021).
Обладатель приза ATP "Самый прогрессирующий игрок года" (2020).
Лауреат премии Федерации спортивных журналистов России "Серебряная лань" (2020, 2021).