Родился 21 мая 1955 г. в Саратове. Его отец Леонид Салюков был офицером-танкистом, вышел в отставку в 1978 г. в звании генерал-майора. Олег Салюков вырос в Пензе, где он окончил школу №6 (ныне МБОУ лингвистическая гимназия № 6).
В 1973-1977 гг. учился в Ульяновском гвардейском высшем танковом командном училище им. В. И. Ленина (расформировано в 1991 г.), которое окончил с золотой медалью.
В 1985 г. с отличием окончил в Москве Военную академию бронетанковых войск им. Маршала Советского Союза Р. Я. Малиновского (расформирована в 1998 г.). В 1996 г. стал выпускником Военной академии Генерального штаба Вооруженных сил РФ.
В 1977-1982 гг. служил командиром взвода, командиром роты, начальником штаба и командиром батальона в Киевском военном округе (Украинская ССР, ныне Украина).
В 1985-1994 гг. был заместителем командира учебного танкового полка, командиром танкового полка, заместителем командира 4-й гвардейской танковой Кантемировской дивизии в Московском военном округе.
В 1997-1998 гг. Олег Салюков проходил службу в должности командира 121-й мотострелковой дивизии, в 1998-2000 гг. - командира 81-й гвардейской мотострелковой дивизии.
В 2000-2003 гг. служил начальником штаба, затем командующим 35-й общевойсковой армии Дальневосточного военного округа (ДВО).
С 2003 по 2005 г. - заместитель командующего войсками ДВО.
В 2005-2008 гг. являлся начальником штаба - первым заместителем командующего войсками ДВО.
С 2008 по 2010 г. - командующий войсками ДВО.
10 декабря 2010 г. Олег Салюков был назначен на пост заместителя начальника Генерального штаба ВС РФ (до 2012 г. Генштаб возглавлял Николай Макаров, затем - Валерий Герасимов).
С 2 мая 2014 г. по 15 мая 2025 г. - главнокомандующий Сухопутными войсками ВС РФ (6 мая 2014 г. ему был вручен штандарт главнокомандующего). В 2014-2025 гг. Салюков командовал парадами Победы на Красной площади в Москве.
С января 2023 г. был заместителем командующего объединенной группировкой российских войск в зоне специальной военной операции.
С 15 мая 2025 г. - заместитель секретаря Совета безопасности РФ (секретарь - Сергей Шойгу).
Генерал армии (2019).
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV степени, Александра Невского (2020), "За военные заслуги", Почета, "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени, "За личное мужество", медалями.