Родился 18 января 1954 г. в Ташкенте (Узбекская ССР, ныне Республика Узбекистан).
В 1977 г. окончил механико-машиностроительный факультет Ленинградского политехнического института им. М. И. Калинина (ныне - Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого), в 1986 г. - факультет организаторов промышленного производства Ленинградского инженерно-экономического института им. Пальмиро Тольятти (ныне - Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет). Стажировался за рубежом, имеет степень магистра делового администрирования (МВА).
Кандидат экономических наук. В 1997 г. защитил в петербургском филиале Международной академии информатизации диссертацию на тему "Административный бизнес: управление в системе цивилизованного предпринимательства".
После окончания политеха в 1977 г. начал работать инженером ленинградского филиала "Оргэнергостроя" Минэнерго СССР. После этого перешел на работу на Саяно-Шушенскую ГЭС на должность инженера-наладчика, впоследствии занимал различные должности вплоть до главного конструктора управления "Красноярскгэсстроя" Минэнерго.
В 1984 г. Виталий Савельев вернулся в Ленинград, был руководителем группы "Оргэнергостроя", затем - главным технологом, заместителем управляющего Всесоюзного треста "Севзапметаллургмонтаж".
В 1987-1989 гг. работал заместителем начальника главка в "Главленинградинжстрое".
С 1989 по 1993 г. занимал должность президента российско-американского совместного предприятия "Диалог-Инвест", поставлявшего компьютерную технику в СССР, затем в Россию. Был одним из создателей, членом совета директоров Диалогбанка.
В 1993-1995 гг. - председатель правления петербургского акционерного банка "Россия".
В 1995-2001 гг. - председатель правления банка "МЕНАТЕП Санкт-Петербург". В этот период был членом советов директоров пивоваренной компании "Балтика", футбольного клуба "Зенит'". В 1996 г. участвовал в финансировании избирательной кампании губернатора Санкт-Петербурга Анатолия Собчака, баллотировавшегося на второй срок.
С 2001 по 2002 г. Виталий Савельев был заместителем председателя правления ОАО "Газпром" Алексея Миллера, курировал финансы.
В мае 2002 - апреле 2004 г. - вице-президент ООО "Объединенная компания "Грос", советник генерального директора ОАО "Связьинвест" по финансам и информационным технологиям.
С 9 апреля 2004 по 22 октября 2007 г. занимал должность заместителя министра экономического развития и торговли РФ Германа Грефа.
В 2007-2009 гг. Виталий Савельев был первым вице-президентом АФК "Система", курировал телекоммуникационные активы компании, в том числе сотового оператора МТС.
26 марта 2009 г. был избран генеральным директором ОАО "Аэрофлот - российские авиалинии" (ныне ПАО "Аэрофлот"), вступил в должность 10 апреля того же года. Сменил на этом посту Валерия Окулова. Также с 2009 г. входит в совет директоров "Аэрофлота".
Под руководством Виталия Савельева в 2011 г. в группу "Аэрофлота" из состава "Ростехнологий" были переданы авиаперевозчики "Владивосток Авиа", "Сахалинские авиатрассы" и "Россия" и др. В 2013 г. на базе первых двух была создана региональная авиакомпания "Аврора". В 2014 г. начал полеты входящий в группу "Аэрофлота" лоукостер-перевозчик "Победа".
Если по итогам 2009 г. "Аэрофлот" перевез 8,8 млн пассажиров (19,4% от общего объема перевозок в России), то в 2019 г. самолетами группы "Аэрофлот" воспользовались 55,7 млн пассажиров (49% российского рынка по пассажиропотоку). Процент занятости кресел "Аэрофлота" поднялся с 69,5% в 2009 г. до 79,2% в 2019 г., при этом у дочерних предприятий он выше - 85,3% - у "России", 94% - у "Победы".
С 10 ноября 2020 г. - министр транспорта в правительстве Михаила Мишустина. За его кандидатуру проголосовали 274 депутата, 55 воздержались. Голосовавших против не было. Сменил во главе ведомства Евгения Дитриха.
Член совета директоров РЖД (с апреля 2021 г.).
Был председателем совета директоров Государственной транспортной лизинговой компании (с декабря 2020 г. по март 2022 г.).
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2013), Александра Невского (2018), Почета (2006) и Дружбы, отмечен благодарностью президента РФ (2012).
Кандидат в мастера спорта по боксу.