Родился 2 августа 1955 г. в селе Бутурлино Горьковской области (ныне поселок городского типа в Нижегородской обл.).
В 1977 г. окончил радиофизический факультет Горьковского государственного университета (ныне Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет) им. Н. И. Лобачевского по специальности "радиофизика".
Доктор физико-математических наук. В 1982 г. в Институте прикладной физики Академии наук СССР (ныне ИПФ РАН) защитил кандидатскую диссертацию по теме "Самовоздействие и трансформация интенсивных электромагнитных волн в магнитоактивной плазме", в 2000 г. там же - докторскую диссертацию по теме "Нелинейные волновые процессы при генерации сверхкоротких оптических импульсов и взаимодействии сильных оптических полей с веществом".
В 2003 г. был избран членом-корреспондентом, в 2016 г. - академиком Российской академии наук (РАН). Является членом Отделения физических наук РАН (секция общей физики и астрономии).
После окончания университета был принят стажером-исследователем в ИПФ АН СССР (г. Горький, ныне Нижний Новгород). Затем работал младшим (1979-1985), старшим (1985-1991) научным сотрудником, заведующим лабораторией (1991-1994) и отделом (1994-2001). С 2001 по 2015 г. занимал должность заместителя директора ИПФ РАН, в 2001-2012 гг. также возглавлял отделение института.
С 2015 по 2017 г. занимал пост директора Института прикладной физики РАН. В настоящее время является главным научным сотрудником лаборатории импульсных твердотельных лазеров, действующей в составе отдела сверхбыстрых процессов отделения нелинейной динамики и оптики ИПФ РАН.
По совместительству являлся профессором кафедры общей физики радиофизического факультета Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (ННГУ).
В 2017-2022 гг. - президент Российской академии наук. Был избран 26 сентября 2017 г. на общем собрании РАН. В первом туре, в котором участвовали еще четверо кандидатов, Александр Сергеев набрал 42,7%, или 681 голос при минимальном пороге в 799. Во втором туре - 70,18%, или 1 045 голосов при минимуме в 745 (опередил Роберта Нигматулина, получившего 412 голосов, или 27,67%). Указ об утверждении его в должности был подписан президентом РФ Владимиром Путиным 27 сентября 2017 г.
19 июля 2022 г. Александр Сергеев был зарегистрирован одним из четырех кандидатов в президенты РАН на очередных выборах. Был выдвинут бюро отделений физических наук, биологических наук, историко-филологических наук, глобальных проблем и международных отношений и 402 членами РАН. 1 сентября он прошел процедуру согласования в правительстве РФ и был допущен к выборам вместе с Геннадием Красниковым и Дмитрием Марковичем. 19 сентября 2022 г. на начавшем работу общем собрании членов РАН Александр Сергеев заявил о снятии своей кандидатуры с выборов. Он назвал свое решение вынужденным, отметив, что предвыборная кампания проходит в "беспрецедентных условиях" и многие члены РАН "подвергаются психологическому и даже внешнему административному давлению". 20 сентября 2022 г. президентом РАН был избран Геннадий Красников.
22 сентября 2022 г. в ходе выборов руководства Российской академии наук был избран членом президиума РАН (на пять лет).
В октябре 2022 г. был назначен научным руководителем Национального центра физики и математики (НЦФМ), который создается в гор. Сарове (Нижегородская обл.) по поручению президента России Владимира Путина.
Александр Сергеев - ученый в области лазерной физики, фемтосекундной оптики (оптика сверхкоротких лазерных импульсов), теории нелинейных волновых явлений, физики плазмы и биофотоники (исследует взаимодействие света с биологической тканью). Под его руководством в ИПФ РАН был создан самый мощный в России петаваттный (10 в пятнадцатой степени ватт, или миллиард мегаватт) лазерный комплекс, разработаны новые способы применения фемтосекундного излучения в области медицины и сверхточной обработки материалов.
Является председателем Совета РАН по космосу (с ноября 2017 г.), Совета по региональной политике РАН (с февраля 2022 г.).
Возглавляет группу российских ученых в проекте по детектированию гравитационных волн LIGO в США. В 2016 г. участникам проекта была присуждена престижная премия Грубера по космологии, а также премия по фундаментальной физике (учреждена российским бизнесменом Юрием Мильнером).
Входит в состав редколлегий журналов "Успехи физических наук" и "Известия ВУЗов - Радиофизика".
Член Совета при президенте РФ по стратегическому развитию и национальным проектам (с июля 2018 г.), Совета при президенте РФ по науке и образованию, Межведомственной комиссии Совета безопасности РФ по вопросам совершенствования государственной миграционной политики (с февраля 2022 г.).
В 2019 г. декларированный доход Александра Сергеева составил 10 млн 316 тыс. 305,35 руб., его супруги - 469 тыс. 423,16 руб.
Награжден орденами Почета (2006), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2020).
Лауреат Государственной премии РФ в области науки и техники (1999), премии правительства РФ в области науки и техники (2012).
Член Академии наук Китая (2019).
Автор и соавтор более 350 научных работ. Среди них "К аналитической теории лазерных осветителей" (1980), "От фемтосекундных к аттосекундным импульсам" (1999), "Тераваттный фемтосекундный титан-сапфировый лазерный комплекс" (2001), "100-тераваттный фемтосекундный лазер на основе параметрического усиления" (2005), "Горизонты петаваттных лазерных комплексов" (2011), "ВКР-лазер с пикосекундной длительностью импульса, работающий в безопасном для глаз диапазоне" (2016) и др.