Родился 13 марта 1959 г. в Красноярске. Отец работал инженером, мать - врачом. С 1970 г. жил в Москве.
В 1985 г. окончил Московский институт нефтехимической и газовой промышленности им. И.М. Губкина (ныне - Российский государственный университет нефти и газа) по специальности "промышленная теплоэнергетика"; в 1996 г. - Финансовую академию при Правительстве РФ (ныне - Финансовый университет); в 2002 г. - курс магистра делового администрирования (MBA) в области промышленной теплоэнергетики и банковского дела Московской международной высшей школы бизнеса "МИРБИС".
В интервью журналу "Босс" в 2004 г. Андрей Шишкин также сообщал, что "поступил в Суворовское училище, а затем окончил с отличием Высшую школу КГБ СССР".
Кандидат экономических наук. Диссертацию на тему "Управление процессом воспроизводства и развития промышленности в регионе на основе инновационных преобразований" защитил в 2004 г. в Орловском государственном техническом университете.
В 1990-х гг. работал на различных должностях в банковских и финансовых организациях, в том числе в Международном банке экономического сотрудничества и Местбанке.
С февраля 2001 г. по март 2005 г. был председателем правления банка "Агропромкредит", параллельно в 2003-2005 гг. являлся председателем совета директоров дочерней компании банка, ОАО "Коммунальная компания Московской области".
В апреле 2005 г. назначен генеральным директором "Уральской энергетической управляющей компании", которая управляла "Тюменьэнерго" и "Курганэнерго". В том же году был назначен генеральным директором ОАО "Тюменская энергосбытовая компания", председателем правления - генеральным директором ОАО "Территориальная генерирующая компания №10" (ТГК-10, с 2009 г. - ОАО "Фортум").
Также в 2005-2009 гг. являлся председателем правления московского банка "Финанс".
В 2008 г. покинул пост в ТГК-10 и стал первым вице-президентом ОАО "Комплексные энергетические системы" ("КЭС-Холдинг", ныне - "Т Плюс", в 2003-2010 г. компанию возглавлял Михаил Слободин).
Также до 2010 г. был совладельцем ОАО "Энергоальянс" (25%), акционером кредитных организаций "Агроимпульс" и Камабанк.
19 июня 2010 г. назначен заместителем Министра энергетики РФ Сергея Шматко. Курировал в Минэнерго вопросы электроэнергетики, энергоэффективности, энергетической безопасности и экологии. 29 июня 2012 г. освобожден от должности по собственной просьбе.
20 июня 2012 г. назначен вице-президентом ОАО "Нефтяная компания "Роснефть" (ныне - ПАО "НК "Роснефть"). Член правления компании с апреля 2015 г. С апреля 2016 г. - вице-президент по энергетике, локализации и инновациям компании. Также является генеральным директором дочерней компании "Роснефти", "РН-Актив".
13 октября 2016 г. назначен на пост президента ПАО "АНК "Башнефть", сменив на этом посту Александра Корсика. Занимал этот пост до 24 сентября 2019 г., был сменен Хасаном Татриевым. После этого занялся другим проектом "Роснефти" - созданием судоверфи "Звезда".
Андрей Шишкин является Председателем Совета директоров АО "ЦКБ "Лазурит", RIG Research Pte. Ltd., членом совета директоров ОАО "Тюменская энергосбытовая компания", ПАО "Русгидро", АО "ОСК", ООО "Национальный нефтяной консорциум", АО "Охинская ТЭЦ", АО "ДЦСС" и др. Бывший член совета директоров ПАО "Россети" (2013-2016).
Владеет 0,0036% акций "Роснефти" (рыночная стоимость пакета по состоянию на сентябрь 2016 г. - около 14 млрд руб.).
По данным последней опубликованной декларации (за 2011 г.), доход Шишкина составлял 155 млн 181 тыс. руб., у него в собственности находились 15 земельных участков общей площадью более 700 тыс. кв. м, а также жилой дом площадью 927 кв. м.
Награжден орденами Почета (2012), "За заслуги перед Отечеством" IV степени, благодарностью Правительства РФ.
Женат.