Родился 31 мая 1945 г. в гор. Сталино (ныне Донецк). Старший брат Юрий (1934-1999) был ученым в области плазмы, ракетных двигателей.
В 1968 г. Александр Сигов окончил с отличием физический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (его научным руководителем был видный ученый Леонид Келдыш).
Доктор физико-математических наук. В 1972 г. в МГУ защитил кандидатскую диссертацию (тема: "Статические и динамические свойства доменных границ с поперечными связями в тонких ферромагнитных пленках", в 1985 г. - ддодкторскую диссертацию (тема: "Влияние дефектов на физические свойства кристаллов вблизи структурных и магнитных фазовых переходов"). Профессор (1987).
В 2006 г. был избран членом-корреспондентом (по отделению информационных технологий и вычислительных систем), а в 2011 г. - действительным членом РАН (по отделению нанотехнологии и информационных технологий).
После аспирантуры в 1971 г. Александр Сигов начал работать в Московском институте радиотехники электроники и автоматики (МИРЭА, ныне МИРЭА - Российский технологический университет, РТУ МИРЭА).
В 1985-1998 гг. был деканом факультета электроники и оптоэлектронной техники МИРЭА. Параллельно в 1986-1992 гг. заведовал кафедрой физики. В декабре 1991 г. был назначен заведующим кафедрой прикладных проблем ВТСП (в феврале 1992 г. переименована в кафедру электроники конденсированных сред, с ноября 2003 г. - кафедра физики конденсированного состояния, с февраля 2016 г. - кафедра наноэлектроники). По настоящее время возглавляет кафедру наноэлектроники РТУ МИРЭА.
В мае 1998 г. Александр Сигов был избран ректором МИРЭА. Переизбирался в 2003 и 2008 гг. В июне 2013 г. на посту ректора его сменил Станислав Кудж. Сигов занял в вузе новую должность: президента МИРЭА - Российского технологического университета.
В июне 2023 г. стал заместителем академика-секретаря отделения нанотехнологий и информационных технологий РАН, руководителем секции нанотехнологий.
Александр Сигов - специалист в области физики твердого тела, микро- и наноэлектроники и материаловедения. Автор и соавтор более 300 научных трудов, 18 монографий и учебников (по теме наноэлектроники, системному анализу электрорадиоизмерениям и др.).
В 2012 г. был доверенным лицом Владимира Путина на выборах президента РФ.
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" III (2022) и IV (2006) степеней, Почета (2016).
Лауреат Государственной премии РФ в области науки и техники (2003, за работу "Научно-технические основы создания многокомпонентных материалов и групповых технологий холодного и горячего плакирования"), в также премии правительства РФ в области образования (2008) и двух премий правительства РФ в области науки и техники (2000, 2011), премии им. М. В. Ломоносова в области науки и образования (2003).
Заслуженный деятель науки РФ (1997). Почетный работник высшего профессионального образования РФ.