Родился 1 апреля 1968 г. в Хельсинки в двуязычной семье - его мать финка, а отец швед. Отец был профессиональным хоккеистом, возглавлял хоккейную ассоциацию Финляндии, работал в Национальной хоккейной лиге США.
Отслужив в армии, Александер Стубб в 1993 г. окончил факультет политологии в Университете Фурмана (США). В 1994 г. получил диплом Сорбонны по истории Франции и французскому языку, в 1995 г. - степень магистра по проблемам Евросоюза в Европейском колледже в Брюгге (Бельгия), в 1999 г. - степень доктора философии Лондонской школы экономики.
В 1990-х гг. в свободное от учебы время Стубб был хоккейным тренером, продавцом в спортивном магазине, работал на бумажной фабрике.
В 1995-1997 гг. занимал должность советника в министерстве иностранных дел Финляндии.
В 1997-1998 гг. был научным сотрудником в Финской академии наук.
В 1999-2004 гг. работал в постоянном представительстве Финляндии при ЕС, в 2001-2003 гг. был советником председателя Европейской комиссии Романо Проди.
В 2000-2007 гг. - приглашенный профессор в Колледже Европы (Бельгия).
В 2004-2008 гг. - депутат Европейского парламента, входил в комитет по бюджетному контролю, был вице-президентом комитета по защите потребителей и внутреннего рынка, участвовал в работе конституционного комитета.
В 2008-2010 гг. - министр иностранных дел в правительстве Матти Ванханена. Во время грузино-югоосетинского конфликта в августе 2008 г. был одним из авторов плана мирного урегулирования. Решение России о признании Южной осетии и Абхазии назвал противоречащим принципам ОБСЕ, однако выступил против введения санкций в отношении России. В 2010-2014 гг. - министр по делам ЕС и внешней торговли в правительствах Мари Кивиниеми и Юрки Катайнена.
С апреля 2011 г. - член парламента Финляндии.
Весной 2014 г. премьер министр Финляндии Юрки Катайнен заявил о намерении покинуть посты главы правительства и председателя правящей Национальной коалиционной партии (НКП). 16 июня на съезде партии Стубб был избран ее председателем, а 23 июня его кандидатура была утверждена парламентом на пост премьер-министра страны. В 2015 г. по итогам парламентских выборов покинул этот пост. В новом правительстве, которое возглавил Юха Сипиля, стал министром финансов.
В июне 2016 г. на выборах председателя НКП проиграл Петтери Орпо (Стубб получил 361 голос, Орпо - 441). По мнению наблюдателей, популярность Стубба снизилась в результате скандала, разразившегося в ноябре 2015 г. Тогда Стубб в эфире телекомпании "Юле" признал, что на заседании парламента предоставил неверные цифры о количестве чиновников, поддерживающих проект закона о регистре номинальных держателей акций. 22 июня 2016 г. покинул пост министра финансов, уступив его Петтери Орпо.
С 2016 г. занимает пост вице-президента Европейского инвестиционного банка (ЕИБ).
Стубб является сторонником присоединения Финляндии к НАТО, выступает за сокращение полномочий президента страны.
В 1990-х гг. начал вести колонки в ряде финских газет, включая Helsingin Sanomat, Ilta-Sanomat, Nykypäivä, а также британской Financial Times. Автор десяти книг по истории Евросоюза. В частности, в 2008 г. вышла книга "Евросоюз: как он работает".
Владеет шведским, английским, французским и немецким языками.
Женат на англичанке Сюзанне Иннес-Стубб (Suzanne Innes-Stubb; по профессии адвокат). В семье двое детей: дочь Эмилия (2001) и сын Оливер-Йохан (2004).
Одно из самых сильных увлечений Стубба - спорт. Неоднократно входил в состав сборной Финляндии по гольфу, играл в хоккей и футбол. В настоящее время занимается лыжным спортом, велоспортом, плаванием и бегом, продолжает играть в гольф. Также много времени уделяет чтению, предпочтение отдает таким жанрам, как биография и политическая философия. В числе любимых писателей Альбер Камю и Джон Стейнбек.