Родился 19 января 1973 г. в Челябинске. Позднее его семья переехала в г. Норильск Красноярского края.
В 1995 г. с отличием окончил Норильский индустриальный институт (ныне Заполярный государственный университет им. Н. М. Федоровского) по специальности "экономика и управление в металлургии", получив квалификацию "инженер-экономист". Выпускник первого потока т. н. школы губернаторов. Программа подготовки кадрового управленческого резерва государственной службы была запущена в июне 2017 г. на базе Высшей школы государственного управления (ВШГУ) и подготовлена на основе программ Корпоративного университета Сбербанка, Московской школы управления "Сколково", Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ и Высшей школы экономики.
С 1990 г. работал на Норильском горно-металлургическом комбинате им. А. П. Завенягина и в горно-металлургической компании (ГМК) "Норильский никель". Начинал как техник экономического отдела, позднее, в 1999-2001 гг., был начальником управления налогового планирования Норильской горной компании (с 2001 г. - ОАО "Горно-металлургическая компания "Норильский никель").
В 2001-2005 гг. - главный бухгалтер Заполярного филиала компании ГМК "Норильский никель". В 2005-2006 гг. - заместитель директора - руководитель многоотраслевой обеспечивающей дирекции Заполярного филиала "Норникеля". В 2006 г. был генеральным директором дочерней компании холдинга - ООО "Норильский обеспечивающий комплекс".
В 2008-2009 гг. - глава администрации (сити-менеджер) г. Норильска. Алексей Текслер был утвержден на должность по итогам конкурса 8 марта 2008 г. депутатами городского собрания сроком на три года. 30 июня 2009 г. покинул пост по "обстоятельствам личного характера".
С сентября 2009 г. по декабрь 2011 г. – руководитель казахстанской бизнес-единицы золотодобывающей компании "Полюс золото". Одновременно занимал должность генерального директора горно-металлургического концерна "Казахалтын".
С декабря 2011 г. по июль 2013 г. являлся управляющим директором - руководителем красноярской бизнес-единицы ЗАО "Полюс золото".
С 20 июля 2013 г. – заместитель, с 18 ноября 2014 г. по 21 марта 2019 г. – первый заместитель министра энергетики РФ. В ведомстве курировал департаменты государственной энергетической политики, бюджетного планирования и учета, корпоративного управления, ценовой конъюнктуры и контрольно-ревизионной работы в отраслях ТЭК.
27 октября 2015 г. распоряжением премьер-министра РФ Дмитрия Медведева Алексею Текслеру было объявлено замечание "за ненадлежащее исполнение" должностных обязанностей. 17 июня 2016 г. дисциплинарное взыскание было снято главой правительства.
С марта 2015 по декабрь 2016 г. возглавлял совет директоров ПАО АНК "Башнефть".
19 марта 2019 г. указом президента РФ Владимира Путина Алексей Текслер был назначен врио губернатора Челябинской области. Сменил во главе региона Бориса Дубровского.
8 сентября 2019 г. избран губернатором Челябинской области. За него проголосовали 69,30% избирателей (в выборах участвовал в порядке самовыдвижения). Второе место занял кандидат от КПРФ, адвокат Константин Нациевский (12,02%). Алексей Текслер вступил в должность 20 сентября 2019 г. Одновременно возглавляет правительство Челябинской области.
Член президиума Государственного совета РФ. Председатель комиссии Госсовета по направлению "Экономика и финансы" (с декабря 2020 г.).
Секретарь челябинского регионального отделения партии "Единая Россия" (с октября 2020 г.).
Член комиссии генсовета "Единой России" по международному сотрудничеству и поддержке соотечественников за рубежом (с ноября 2021 г.).
Действительный государственный советник РФ II класса (2017).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2016).