Родился 2 ноября 1927 г. в Москве в семье студентов Тимирязевской сельскохозяйственной академии. Его отец, Алексей Григорьевич Трутнев (1898-1974), впоследствии стал известным агрономом, членом-корреспондентом Всесоюзной академии сельскохозяйственных наук им. В. И. Ленина (ВАСХНИЛ).
Детство Юрий Трутнев провел в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург), куда переехала семья. Во время Великой Отечественной войны находился в эвакуации: в Челябинской и Горьковской (ныне Нижегородская) областях. В Ленинград вернулся в мае 1944 г.
В 1945 г. поступил на химический факультет Ленинградского государственного университета (ЛГУ, ныне Санкт-Петербургский государственный университет). После второго курса перевелся на физический факультет. Окончил университет в 1950 г.
Доктор технических наук (1963; ученая степень была присвоена без защиты, минуя кандидатскую ступень). В 1964 г. был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, в 1991 г. - академиком Российской академии наук (РАН). Профессор (1993).
После окончания ЛГУ Юрий Трутнев по распределению был направлен в секретное конструкторское бюро №11 в Арзамасе-16 Горьковской области (впоследствии - Всесоюзный НИИ экспериментальной физики; ныне Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, РФЯЦ-ВНИИЭФ, г. Саров). Он был привлечен к работам по ядерной программе СССР. Работал под началом таких выдающихся физиков-ядерщиков, как Юлий Харитон, Яков Зельдович, Андрей Сахаров и др. С февраля 1951 г. был инженером, с апреля 1964 г. - руководителем отдела, затем - заместителем начальника сектора КБ-11.
С октября 1965 г. по 1999 г. возглавлял объединенное теоретическое отделение ВНИИЭФ. Одновременно с 1966 г. был заместителем, с 1978 г. - первым заместителем научного руководителя института. С 1999 г. до конца жизни занимал должность первого заместителя научного руководителя РФЯЦ-ВНИИЭФ по перспективным исследованиям.
По совместительству преподавал на кафедре теоретической ядерной физики Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ" (Москва).
С 1991 г. являлся участником Пагуошского движения ученых, занимающегося вопросами контроля над вооружениями, нераспространения ядерного оружия, международной безопасности и научного сотрудничества. Был членом Саровского отделения Российского Пагуошского комитета при президиуме РАН, которое действовало в 1995-2014 гг.
Был членом Отделения физических наук (секция ядерной физики) и президиума Нижегородского научного центра РАН, главным редактором издания ВНИИЭФ - научно-технического сборника "Вопросы атомной науки и техники".
Юрий Трутнев был специалистом в области теоретической ядерной физики, физики сверхвысоких давлений, прикладной математики. В 1954 г. совместно с Андреем Сахаровым и Яковом Зельдовичем разработал принцип радиационной имплозии (заключается в импульсном сжатии ядерного заряда) и стал одним из создателей первого термоядерного (водородного) заряда на основе этого принципа - двухступенчатой водородной бомбы РДС-37 (испытана в 1955 г.). В 1955 г. совместно с Юрием Бабаевым сформулировал идею усовершенствования радиационной имплозии и предложил новую схему - миниатюризированную конструкцию двухступенчатого водородного заряда. Его испытание было успешно проведено в 1958 г. в рамках "проекта 49". Эта идея была использована для серии других термоядерных зарядов различной мощности, разработанных в 1958-1962 гг. под руководством Трутнева и ставших основой для системы ракетно-ядерного вооружения СССР. В 1961 г. под руководством Андрея Сахарова участвовал в создании самой мощной в мире водородной бомбы - "изделия 602" (50-мегатонная "Царь-бомба" была испытана в том же году 30 октября). В 1962 г. совместно с Юрием Бабаевым высказал идею использования атомных и термоядерных взрывов в технических и научных целях. Эта идея легла в основу программы "мирных атомных взрывов": ядерные взрывы использовались в СССР в 1965-1988 гг. при геологоразведке, создания технических плотин и др. С 1960-х гг. занимался также вопросами управляемого термоядерного синтеза.
В конце жизни ученый вел работы по созданию современных оригинальных видов неядерных вооружений, повышению возможностей стратегических подводных лодок и др.
Юрий Трутнев скончался 6 августа 2021 г. в Федеральном центре мозга и нейротехнологий ФМБА России (Москва) на 94-м году жизни. Похоронен в Сарове на городском кладбище.
Герой Социалистического Труда (1962, за разработку серии термоядерных зарядов). Лауреат Ленинской (1959, за "проект 49") и Государственной (1984) премий СССР, премии правительства РФ в области науки и техники (2016).
Был награжден орденами Ленина (1956 - за участие в создании РДС-37; 1962), Октябрьской Революции (1971), Трудового Красного Знамени (1975, 1987), золотой медалью "Серп и молот" (1962), медалью "За доблестный труд" (1970). Полный кавалер ордена "За заслуги перед Отечеством" (в 1998 г. - III степени, в 2003 г. - II, в 2012 г. - IV, в 2017 г. - I степени). Отмечен почетной грамотой президента РФ (2006) и благодарностью правительства РФ (2012).
"За совокупность закрытых работ, имеющих важнейшее научное, военно-стратегическое и народнохозяйственное значение и обеспечивших стране современный надежный ядерный щит" был награжден золотой медалью им. И. В. Курчатова РАН (2002). Среди его наград - медаль "За подъем АПК "Курск" Центрального конструкторского бюро морской техники "Рубин" (2002), медаль Совета безопасности РФ "За заслуги в обеспечении национальной безопасности" (2012), медаль Минобороны России "За укрепление боевого содружества" (2017), знак отличия госкорпорации "Росатом" "За заслуги перед атомной отраслью" I степени (2017) и др.
Был удостоен званий почетного гражданина Нижегородской области (1997) и Сарова (2011).