Родился 3 февраля 1945 г. в Новороссийске (Краснодарский край). В конце 1940-х гг. семья переехала в Москву.
В 1952-1954 гг. Юрий Веденеев посещал занятия в Московском государственном хореографическом училище. Во второй половине 1950-х гг. вместе с родителями проживал в различных европейских странах. В интервью Веденеев рассказывал, что его отец работал в диппредставительствах, был сотрудником Главного разведывательного управления Минобороны СССР.
В 1964 г. Юрий Веденеев поступил в Государственный институт театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне - Российский институт театрального искусства - ГИТИС). Вскоре был призван в армию, прослужил три года в ансамбле песни и пляски Белорусского военного округа. После демобилизации восстановился на первом курсе ГИТИСа. Окончил факультет музыкального театра в 1972 г. Певческий голос - баритон.
С 1972 г. по н. в. Юрий Веденеев является солистом Московского государственного академического театра оперетты. Среди исполненных им партий: Айзенштайн в "Летучей мыши" Иоганна Штрауса, граф Данило в "Веселой вдове" Франца Легара, Эдвин в "Королеве чардаша" Имре Кальмана, барон Грог в "Великой герцогине Герольштейнской" Жака Оффенбаха, Одиссей в "Пенелопе" Александра Журбина, Сирано в "Неистовом гасконце" Кара Караева, Юрий Токмаков в "Девичьем переполохе" Юрия Милютина. В текущем репертуаре: Орловский в "Летучей мыши" и Омонай в "Цыганском бароне" Иоганна Штрауса, Барон де Кревельяк в "Мистере Иксе" и Жюль Деламот в "Фее карнавала" Имре Кальмана.
В 1988-2012 гг. Юрий Веденеев также выступал в Государственном академическом Большом театре. Среди его партий были: Роберт в "Иоланте" и Елецкий в "Пиковой даме" Петра Чайковского, Фигаро в "Севильском цирюльнике" Джоаккино Россини, Скарпиа в "Тоске" Джакомо Пуччини, Герцог в "Скупом рыцаре" Сергея Рахманинова, Шакловитый в "Хованщине" и Щелкалов в "Борисе Годунове" Модеста Мусоргского, Леандр в "Любви к трем апельсинам" Сергея Прокофьева, Жорж Жермон в "Травиате" Джузеппе Верди.
Сотрудничал с театром "Геликон-Опера". С 2009 г. на протяжении нескольких лет исполнял партию князя Потемкина-Таврического в постановке оперы Давида Тухманова "Царица".
Народный артист РСФСР (1988).
Юрий Веденеев награжден орденами Дружбы (1995), Почета (2003) и Александра Невского (2021). Отмечен благодарностью (2005) и Почетной грамотой президента РФ (2016).
Лауреат премии "Золотая маска" в почетной номинации "За выдающийся вклад в развитие театрального искусства" (вручение состоится в 2023 г.).