Родился 11 января 1964 г. в Москве в семье Александра Филипповича (1927-2018) и Наталии Николаевны (род. 1936) Ведерниковых. Его отец был оперным певцом, народным артистом СССР. Мать - исполняющая обязанности заведующей кафедрой органа и клавесина Московской государственной консерватории (МГК) им. П. И. Чайковского, заслуженная артистка России.
В 1988 г. Александр Ведерников окончил МГК им. П. И. Чайковского по классу оперно-симфонического дирижирования профессора Леонида Николаева, в 1990 г. - аспирантуру консерватории.
В 1988-1990 гг. работал дирижером в Московском академическом музыкальном театре им. К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко. С 1988 по 1995 г. также являлся ассистентом главного дирижера и вторым дирижером Государственного академического Большого симфонического оркестра им. П. И. Чайковского (до 1991 г. - Большой симфонический оркестр Всесоюзного радио и Центрального телевидения).
В 1995 г. Александр Ведерников основал симфонический оркестр "Русская филармония", до 2004 г. был его художественным руководителем и главным дирижером.
С 2001 по 2009 г. являлся главным дирижером - музыкальным руководителем Государственного академического Большого театра. Под его руководством были осуществлены постановки опер "Адриенна Лекуврер" Франческо Чилеа, "Хованщина" Модеста Мусоргского, "Турандот" Джакомо Пуччини, "Руслан и Людмила" Михаила Глинки, "Огненный ангел" и "Война и мир" Сергея Прокофьева, "Летучий голландец" Рихарда Вагнера. Также выступил в качестве музыкального руководителя постановок опер "Фальстаф" Джузеппе Верди, "Дети Розенталя" Леонида Десятникова, "Евгений Онегин" Петра Чайковского, "Борис Годунов" Модеста Мусоргского.
В 2009-2018 гг. Александр Ведерников являлся главным дирижером Симфонического оркестра Оденсе (Дания). В 2016-2018 гг. осуществил с ним постановку оперной тетралогии Рихарда Вагнера "Кольцо нибелунга" (премьера всех четырех опер состоялась в мае 2018 г.).
С сентября 2018 г. был главным дирижером Датской королевской оперы.
С февраля 2019 г. Александр Ведерников являлся музыкальным руководителем и главным дирижером Санкт‑Петербургского государственного академического театра оперы и балета им. М. П. Мусоргского - Михайловского театра. В ноябре 2019 г. при его участии в Михайловском театре впервые была поставлена опера Джузеппе Верди "Аида".
На протяжении карьеры Александр Ведерников также сотрудничал с Парижским оркестром (Франция), Лондонским филармоническим оркестром и Симфоническим оркестром Бирмингема (оба - Великобритания), Миланским симфоническим оркестром им. Джузеппе Верди (Италия), Сиднейским симфоническим оркестром (Австралия), Симфоническим оркестром Монреаля (Канада), Филармоническим оркестром Токио (Япония) и др.
Александр Ведерников скончался 30 октября 2020 г. в Москве на 57-м году жизни. Причиной смерти стала коронавирусная инфекция. Похоронен на Миусском кладбище.
Заслуженный деятель искусств РФ (2007).
В 2008 г. был удостоен престижной премии "Музыкального журнала Би-би-си" (за запись с Оркестром итальянской Швейцарии Первого фортепианного концерта Дмитрия Шостаковича). В ноябре 2020 г. посмертно удостоен национальной оперной премии "Онегин" в категории "Признание".
Брат - Борис Ведерников (род. 1967, художник, преподаватель Академии акварели и изящных искусств Сергея Андрияки).