Родился 24 мая 1906 г. в Казани в семье хирурга, впоследствии академика АМН СССР Александра Васильевича Вишневского (1874-1948).
В 1929 г. окончил медицинский факультет Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (КГУ; ныне Казанский Приволжский федеральный университет).
Доктор медицинских наук (1936; тема диссертации: "Проказа. Клинический опыт изучения ее патогенеза"). Профессор (1939). Академик АМН СССР (1957).
После окончания КГУ работал в университете на кафедре нормальной анатомии.
С 1931 г. находился на военной службе, был преподавателем кафедры нормальной анатомии Военно-медицинской академии в Ленинграде (ныне Военно-медицинская академия им. С. М. Кирова).
Одновременно работал в отделе патологической физиологии Всесоюзного института экспериментальной медицины (в 1934 г. институт был переведен в Москву, впоследствии Институт экспериментальной медицины РАМН) под руководством профессора Алексея Сперанского.
С 1933 г. изучал клиническую хирургию. Вместе с отцом исследовал патогенетические аспекты действия новокаиновой блокады, применение масляно-бальзамических повязок (мазь Вишневского, предложена его отцом) при различных хирургических заболеваниях.
В 1935 г. переехал в Москву, руководил хирургическим отделением Всесоюзного института экспериментальной медицины.
С 1940 г. по 1941 г. - профессор кафедры военно-полевой хирургии Центрального института усовершенствования врачей (ныне Российская медицинская академия последипломного образования Минздрава России).
В составе бригады Санитарного управления Рабоче-крестьянской Красной армии находился в районе боевых действий советско-японского военного конфликта в районе реки Халхин-Гол в Монголии (1939). В советско-финляндской войне (1939-1940) был армейским хирургом. Во время Великой Отечественной войны (1941-1945) - армейский хирург, главный хирург ряда фронтов (Брянского, Волховского, Карельского и др.). Впервые в полевых условиях применил метод новокаиновых блокад при травматическом шоке и обработку огнестрельных ран с помощью наложения повязок с мазью Вишневского.
С 1945 г. являлся главным хирургом Приморского, а с 1947 г. - Московского военных округов.
В 1947-1948 гг. работал заместителем директора по научной работе Института экспериментальной и клинической хирургии АМН СССР, который возглавлял его отец.
С 1948 г. по 1975 г. - директор Института хирургии им. А. В. Вишневского (после смерти отца институт был переименован). Одновременно, с 1956 г. по 1975 г. являлся главным хирургом Министерства обороны СССР.
Александр Вишневский способствовал образованию при институте лаборатории кибернетики (для диагностики и прогнозирования заболеваний с помощью электронно-вычислительных машин), центра спинномозговой травмы, ожогового центра. Ученый-хирург первым в мире провел успешную операцию на сердце под местной анестезией (1953), первым в СССР - успешную операцию на открытом сердце с применением отечественного аппарата искусственного кровообращения (1957).
В 1956 г. инициировал создание журнала "Экспериментальная хирургия" (ныне "Анестезиология и реаниматология") и до 1975 г. являлся его редактором.
Скончался 19 ноября 1975 г. в Москве, похоронен на Новодевичьем кладбище.
Генерал-полковник медицинской службы (1963).
Герой Социалистического Труда (1966). Лауреат Ленинской (1960) и Государственной премий СССР (1970). Награжден тремя орденами Ленина, четырьмя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I степени, двумя орденами Красной Звезды, орденом "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени, а также орденами и медалями ряда зарубежных стран.
Удостоен Международной премии Рене Лериша (1955). Являлся членом Международной ассоциации хирургов, почетным членом ряда зарубежных медицинских обществ.
Опубликовано более 300 научных работ ученого-хирурга, в том числе 22 монографии. Среди них "Местное обезболивание в условиях войскового района" (1941), "Записки военно-полевого хирурга" (1943), "Дневник хирурга: Великая Отечественная война 1941-1945 гг." (1967) и др.