Родился 25 апреля 1969 г. в г. Красноярске.
В 1990 г. окончил Курганское высшее военно-политическое авиационное училище (закрыто в 1994 г.), в 1996 г. - юридический факультет Военного университета в Москве, в 2000 г. - Российскую академию государственной службы при президенте РФ (ныне Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
С 1996 по 1999 г. работал в Административном департаменте Аппарата правительства РФ (департамент контролирует деятельность силовых ведомств).
В 1999 г. был помощником председателя правительства РФ Сергея Степашина, в 1999-2000 гг. - помощником председателя правительства РФ Владимира Путина.
В 2000 г. Андрей Яцкин перешел на работу в Администрацию президента РФ, где до 2004 г. возглавлял аппарат Дмитрия Козака, занимавшего должности заместителя руководителя (2000-2003) и первого замруководителя (2003-2004) администрации главы государства.
С 19 марта по 28 апреля 2004 г. Андрей Яцкин был заместителем руководителя Аппарата правительства РФ Дмитрия Козака.
С 28 апреля 2004 г. по 21 сентября 2020 г. - полномочный представитель правительства РФ в Совете Федерации Федерального собрания РФ. С 10 по 28 апреля 2020 г. временно исполнял обязанности полпреда правительства в Государственной думе РФ.
21 сентября 2020 г. губернатор Ростовской области Василий Голубев наделил Андрея Яцкина полномочиями члена Совета Федерации РФ - представителя правительства региона. В верхней палате парламента Яцкин сменил сенатора Владимира Лакунина, который представлял исполнительную власть Ростовской области с ноября 2019 г.
23 сентября 2020 г. Совет Федерации назначил Андрея Яцкина на должность первого заместителя председателя верхней палаты парламента. На заседании СФ было также принято решение ввести вторую должность первого вице-спикера, ее занял Андрей Турчак. Бывший первый заместитель председателя палаты Николай Федоров не стал выдвигать свою кандидатуру.
Действительный государственный советник РФ I класса (2010).
Награжден орденом Почета (2016). Отмечен благодарностью президента РФ (2004), Почетной грамотой (2008) и благодарностью (2018) правительства РФ.
Заслуженный юрист РФ (2008).