Родился 24 сентября 1941 г. в с. Рейнсфельд Кошкинского района Куйбышевской обл. (ныне с. Залесье Кошкинского района Самарской обл.), где его мать, Анна Алексеевна, находилась в эвакуации. Отец, Николай Иванович, был военно-морским офицером и участвовал в Великой Отечественной войне.
В детстве и подростковом возрасте вместе с семьей жил в Измаиле (Украинская ССР, ныне Украина), Бухаресте (Румыния) и Таллине (Эстонская ССР, ныне Эстония). В Таллине посещал театральный драматический кружок под руководством Ивана Россомахина.
В 1962 г. окончил актерский факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ВГИК, ныне - Всероссийский государственный институт кинематографии имени С.А. Герасимова), в 1974 г. - режиссерский факультет того же вуза.
В 1961 г. Игорь Ясулович дебютировал в кинематографе, исполнив роль физика в драме Михаила Ромма "Девять дней одного года". В последующие годы снимался в фильмах "Время, вперед!" по одноименному роману Валентина Катаева (1965, режиссеры Михаил Швейцер и София Милькина), "Айболит-66" по мотивам произведений Корнея Чуковского (1966, Ролан Быков), "Приваловские миллионы" по мотивам одноименного романа Дмитрия Мамина-Сибиряка (1972, Ярополк Лапшин), "31 июня" по мотивам одноименной повести Джона Бойнтона Пристли (1978, Леонид Квинихидзе), "Предчувствие любви" (1982, Тофик Шахвердиев), "Витя Глушаков - друг апачей" (1983, Геральд Бежанов), "Осенние соблазны" (1993, Владимир Грамматиков), "Даже не думай!" (2003, Руслан Бальтцер), "Статский советник" (2005, Филипп Янковский) и др. В общей сложности был задействован в более чем 200 кинокартинах и телесериалах.
К числу наиболее известных ролей актера относятся Виктор Николаевич в комедии "Бриллиантовая рука" (1968, Леонид Гайдай), инженер Щукин в комедии "12 стульев" по одноименному роману Ильи Ильфа и Евгения Петрова (1971, Леонид Гайдай), скульптор Вася в комедии "Ехали в трамвае Ильф и Петров" по мотивам рассказов и фельетонов этих писателей (1971, Виктор Титов), Электрон Иванович в телефильме "Гостья из будущего" по мотивам фантастической повести Кира Булычева "Сто лет тому вперед" (1984, Павел Арсенов), Эно в фильме "Мио, мой Мио" по одноименной сказке Астрид Линдгрен (1987, Владимир Грамматиков) и др.
Помимо карьеры в кино, играет в театре. В 1962 г. стал актером Московского экспериментального театра пантомимы "Эктемим", с 1964 по 1993 г. входил в труппу Театра-студии киноактера (ныне - Государственный театр киноактера), с 1994 г. - актер Московского театра юного зрителя (МТЮЗ).
В Театре-студии киноактера принимал участие в спектаклях "Похождения Чичикова" по мотивам поэмы Николая Гоголя "Мертвые души" (Чичиков), "Дурочка" по пьесе Лопе де Вега (Октавио), "Горе от ума" по пьесе Александра Грибоедова (Чацкий) и др.
На сцене МТЮЗ исполнял роли в спектаклях "Гроза" по пьесе Александра Островского (Кулигин), "Романтики" по пьесе Эдмона Ростана (Бергамен), "Свидетель обвинения" по пьесе Агаты Кристи (адвокат Робартс), "Иванов и другие" по мотивам пьесы Антона Чехова "Иванов" (Шабельский), "Скрипка Ротшильда" по рассказу Антона Чехова (Ротшильд), "Нелепая поэмка" по мотивам романа Федора Достоевского "Братья Карамазовы" (Великий инквизитор), "Пингвины" по мотивам пьесы Ульриха Хуба "У ковчега в восемь" (Ной) и др.
Игорь Ясулович также был занят в спектакле Московского драматического театра им. А.С. Пушкина "В тени виноградника" (одноименная пьеса написана Валерием Мухарьямовым по мотивам повести Исаака Башевиса Зингера "Последняя любовь") и в совместном проекте Международного театрального фестиваля им. А.П. Чехова, Эдинбургского международного фестиваля и студии SounDrama ("СаунДрама", Москва) "Война" по произведениям Гомера ("Илиада"), Ричарда Олдингтона ("Смерть героя") и Николая Гумилева ("Записки кавалериста").
Также известен как актер дубляжа. Принимал участие в озвучивании более 180 фильмов и сериалов, в том числе "Космическая одиссея 2001 года" (1968, Стэнли Кубрик), "Блеф" (1976, Серджио Корбуччи), "Профессионал" (1981, Жорж Лотнер), "Амадей" (1984, Милош Форман), "Список Шиндлера" (1993, Стивен Спилберг), "Сонная лощина" (1999, Тим Бертон), "Авиатор" (2004, Мартин Скорсезе) и др.
Игорь Ясулович поставил фильмы "Каждый мечтает о собаке" (1975) и "Пропал и нашелся" (1976).
Является заведующим кафедрой актерского мастерства актерского факультета ВГИК и преподавателем кафедры режиссуры и мастерства актера музыкального театра факультета музыкального театра Российского университета театрального искусства - ГИТИС.
Проводил мастер-классы в Великобритании, Ирландии и Колумбии.
Член Союза кинематографистов РФ и Союза театральных деятелей РФ.
Народный артист РФ (2001). Лауреат Государственной премии РФ (2000). Награжден орденом Почета (2013).
Лауреат международной театральной премии им. К.С. Станиславского за лучшую мужскую роль года в спектаклях "Черный монах" и "Нелепая поэмка", премии "Чайка" в номинации "Маска Zorro" (за раскрытие образа) за роль в "Нелепой поэмке", премии "Золотой витязь" в номинации "Лучший актер" (все - 2006).
Женат. Супруга - искусствовед Наталья Егорова. Сын Алексей (род. 1966) - актер и режиссер.