Родился 11 июля 1976 г. в Ялте (Крымская АССР, ныне Республика Крым, РФ) в семье Вальтера Михайловича (1928-2007) и Татьяны Васильевны (род. 1956) Запашных. Его отец был цирковым дрессировщиком, народным артистом РСФСР. Мать в настоящее время является заместителем гендиректора Большого Московского государственного цирка на проспекте Вернадского.
В 2004 г. Эдгард Запашный окончил в Москве Русский институт управления им. В. П. Чернова (прекратил деятельность в 2016 г.) по специальности "Менеджмент организации", в 2011 г. - Российский государственный социальный университет (Москва) по специальности "Юриспруденция".
На цирковой арене дебютировал в 1988 г. в Риге (Латвийская ССР, ныне Латвийская Республика). Занимался дрессурой хищников, джигитовкой (скачка на лошади, в ходе которой наездник выполняет акробатические и гимнастические трюки), акробатикой и жонглированием.
В 1991 г. вместе с родителями и младшим братом Аскольдом на несколько лет уехал в Китай, где семье Запашных был предложен рабочий контракт. Для их выступлений принимающая сторона построила летний цирк рядом с гор. Шэньчжэнем (провинция Гуандун).
Вернувшись в Россию в 1996 г., Эдгард Запашный вместе с семьей начал гастролировать по стране, представляя различные цирковые номера.
В 2003 г. вместе с братом создал ООО "Цирк братьев Запашных", выпустившее шоу "Колизей" (2007), "Камелот" (2008), "Садко" (2009), "Легенда" (2011), "К.У.К.Л.А." (2012), "Страшная сила" (2013) и др.
В разные годы выступал с гастролями в Белоруссии, Казахстане, Венгрии, Японии и др.
В 2011 г. один из трюков артиста был занесен в Книгу рекордов Гиннесса - он проехал 20 метров, стоя на паре лошадей и удерживая на плечах двух артисток.
С 20 ноября 2012 г. Эдгард Запашный занимает пост генерального директора Большого Московского государственного цирка на проспекте Вернадского. Он совмещает административную работу с выступлениями на арене.
Является автором и ведущим программы "Легенды цирка" на телеканале "Звезда".
Генеральный продюсер и ведущий всемирного фестиваля циркового искусства "Идол", проходящего в Москве с 2013 г.
В 2012 и 2018 гг. Эдгард Запашный являлся доверенным лицом кандидата в президенты РФ Владимира Путина. В январе 2024 г. был вновь зарегистрирован в качестве доверенного лица кандидата на пост главы государства Владимира Путина (президентские выборы пройдут в РФ в марте 2024 г.).
Член Совета при президенте РФ по культуре и искусству, центрального штаба "Общероссийского народного фронта", общественного совета при комитете Госдумы РФ по культуре.
Народный артист РФ (2012).
Награжден орденом Дружбы (2019).
Выпустил книги "Мои друзья тигры" (2011), "Как мы дрессируем собак" (2008, в соавторстве с братом) и "Тайна цирка" (2018, в соавторстве с Никитой Замеховским-Мегалокарди). Вместе с братом и писательницей Анастасией Такки издал фантастические произведения "Камелот. Осколки легенд" (2009) и "Камелот-2. Наместник Богов" (2010).
Дочери - Стефания (род. 2011) и Глория (род. 2013), сын - Даниэль (род. 2017). Брат - народный артист РФ Аскольд Запашный (род. 1977, художественный руководитель Большого Московского государственного цирка на проспекте Вернадского).