Родился 28 декабря 1922 г. Москве в семье служащего аппарата Совнаркома РСФСР.
В июне 1941 г. окончил среднюю школу.

В июне 1941 г. Борис Кравцов был мобилизовн в ряды Рабоче-крестьянской Красной армии. Служил в 91-м отдельном саперном батальоне Уральского военного округа (г. Чебаркуль, Челябинская область).
С сентября 1941 г. по май 1942 г. прошел ускоренное обучение в Одесском артиллерийском училище им. М. В. Фрунзе (военное учебное заведение действовало в эвакуации в г. Сухой Лог Свердловской области).
После окончания училища Борис Кравцов в звании лейтенанта был направлен на Юго-Западный фронт в 300-ю стрелковую дивизию 38-й армии командиром взвода топографической разведки 2-го дивизиона 822-го артиллерийского полка.
С июля 1942 г. по август 1943 г. в той же должности воевал во 2-м дивизионе 846-го артиллерийского полка 278-й стрелковой дивизии. Участвовал в боевых действиях на Юго-Западном, Сталинградском и Донском фронтах. Принимал участие в Харьковском оборонительном сражении (май 1942 г.), прошел всю Сталинградскую битву.
В августе 1943 г. в звании старшего лейтенанта был назначен на должность начальника разведки 2-го дивизиона 132-го гвардейского артиллерийского полка 60-й гвардейской стрелковой дивизии. Принимал участие в Донбасской наступательной операции, освобождал Павлоград и Запорожье.
24 октября 1943 г. гвардии старшего лейтенанта Борис Кравцов с группой разведчиков в районе Запорожья переправился через реку Днепр на остров Хортица, откуда по радио передавал целеуказания артиллерии, обеспечивая подавление огневых точек противника. Когда германские войска окружили блиндаж разведчиков, Борис Кравцов вызвал огонь советской артиллерии на свою позицию, что позволило очистить ее от противника. Сами красноармейцы при обстреле остались живы.
31 декабря 1943 г. Кравцов получил тяжелое осколочное ранение в бедро, проходил длительное лечение в госпиталях Запорожья, Славянска и Ленинакана (Армянская ССР, ныне Гюмри, Армения).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 марта 1944 г. гвардии старшего лейтенанта Борис Кравцов был удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" за геройский подвиг проявленный при выполнении боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками.
В июне 1944 г. Борис Кравцов в звании капитана был уволен из армии по ранению. Был признан инвалидом 2-й группы.
В сентябре 1944 г. поступил в Московский автодорожный институт, однако продолжать очное обучение не смог из-за последствий ранения.
В 1947 г. Борис Кравцов окончил Московскую юридическую школу.
В 1947-1950 гг. работал судьей линейного суда Московско-Окского бассейна (суд на водном транспорте - орган советской транспортной юстиции).
В период с июня 1950 г. по ноябрь 1955 г. Борис Кравцов занимал пост старшего инспектора-ревизора отдела транспортных судов Министерства юстиции СССР.
В 1952 г. окончил Всесоюзный юридический заочный институт (ныне Московский государственный юридический университет им. О. Е. Кутафина, МГЮА).
Находился на ответственных партийных должностях. С ноября 1955 г. по 1956 г. работал освобожденным секретарем парткома Минюста СССР, в 1956 г. - инструктором отдела административных и торгово-финансовых органов ЦК КПСС.
28 января 1960 г. был назначен первым заместителем прокурора РСФСР. В сентябре 1964 г. подвергся покушению со стороны одного из участников гражданского процесса. Был ранен в плечо из огнестрельного оружия.
С января 1971 г. по апрель 1984 г. Борис Кравцов занимал должность прокурора РСФСР.
С 12 апреля 1984 г. по 7 июня 1989 г. Борис Кравцов был министром юстиции СССР.
В 1989 г. вышел на пенсию, проживает в Москве. После смерти Владимира Решетникова 20 марта 2023 г. Борис Кравцов стал последним ныне живущим Героем Советского Союза, удостоенным этого звания в годы Великой Отечественной войны.

Государственный советник юстиции I класса (1971).

Борис Кравцов награжден советскими орденами Ленина (1944), Октябрьской Революции (1982), Отечественной войны I степени (1985), Трудового Красного Знамени (1967, 1971), российскими орденами "За заслуги перед Отечеством" I степени (2021), Александра Невского (2017), Дружбы народов (1994), медалями, в т. ч. ведомственными.
Отмечен Почетной грамотой Президента РФ (2012).

Заслуженный юрист РСФСР (1972), почетный работник прокуратуры СССР (1981), заслуженный работник прокуратуры РФ (2012).
Член общероссийской общественной организации "Российская Ассоциация Героев".
Почетный гражданин городов Каменск-Шахтинский (Ростовская область) и Дербент (Республика Дагестан).

Автор и соавтор монографий "Советская прокуратура", "Правовая работа в народном хозяйстве", свыше 100 публикаций в специализированной и массовой периодической печати (журналах "Советское государственное право", "Социалистическая юстиция", "Социалистическая законность", "Огонек", "Ветеран", газетах "Правда", "Известия", "Красная звезда" и др.). В 2007 г. была издана книга воспоминаний Бориса Кравцова "Записки прокурора республики" (в дальнейшем неоднократно переиздавалась).