Родился 28 июня 1973 г. в Перми.
Получил среднее специальное образование в профессиональном училище №41 в Перми по специальности "электромонтажник по силовым сетям и электрооборудованию".
В 2004 г. окончил юридический факультет Московской академии права и управления (ныне Московский институт государственного управления и права).
С 2004 г. по 2007 г. работал директором по стратегическому планированию рынка ОАО "Пермский домостроительный комбинат".
В 2006 г. являлся депутатом Пермской городской думы IV созыва. Был избран от Орджоникидзевского района города.
Являлся также председателем комитета Пермского регионального отделения политической партии "Народная партия РФ".
В 2006-2016 гг. - депутат Законодательного собрания Пермского края I и II созывов. Переизбран 4 декабря 2011 г. по одномандатному избирательному округу №7, с 2011 г. стал депутатом, работающим на постоянной профессиональной основе. Входил в депутатскую группу "Солидарность", был членом комитета по социальной политике.
2 декабря 2007 г. баллотировался на выборах в Государственную думу РФ V созыва по федеральному списку политической партии "Гражданская сила". Был первым номером в региональной группе №27 (Пермский край). В Думу не прошел.
В 2009-2014 гг. был председателем пермской краевой общественной организации "Первая пермская федерация тенниса".
В 2013-2016 гг. являлся председателем совета директоров ОАО "Пермский домостроительный комбинат".
В мае 2016 г. победил на праймериз "Единой России" по Чусовскому одномандатному избирательному округу №59, набрав 66,36% голосов. При этом не являлся членом партии.
В 2016-2021 гг. - депутат Государственной думы РФ VII созыва. Был избран 18 сентября 2016 г. по Чусовскому одномандатному избирательному округу № 59. Выдвинут политической партией "Единая Россия". Получил 45,5% голосов избирателей (второе место заняла представитель "Справедливой России" Ирина Волынец – 10,50%). Член фракции "Единая Россия", входил в состав комитета Госдумы РФ по экономической политике, промышленности, инновационному развитию и предпринимательству.
8 июля 2021 г. Бурнашов был задержан в Перми сотрудниками ДПС за вождение в нетрезвом виде. При задержании депутат оскорбил полицейских и применил в отношении одного из сотрудников инспекции насилие, причинив легкий вред здоровью. Бурнашов, входящий во фракцию "Единая Россия", не является членом партии, поэтому о применении к нему дисциплинарных мер по партийной линии не сообщалось. Комиссия Госдумы по мандатным вопросам и вопросам депутатской этики предложила парламентарию публично извиниться перед теми, кого он оскорбил. Впоследствии Бурнашов принес свои извинения сотруднику полиции в социальных сетях.
После окончания депутатских полномочий в отношении Алексея Бурнашова было возбуждено уголовное дело по ч. 2 ст. 318 УК РФ ("Применение насилия, опасного для жизни или здоровья, в отношении представителя власти в связи с исполнением им своих должностных обязанностей") и ст. 319 УК РФ ("Публичное оскорбление представителя власти в связи с исполнением им своих должностных обязанностей"). Он был задержан, находился под подпиской о невыезде.
16 мая 2022 г. Ленинский районный суд Перми приговорил Алексея Бурнашова к 2 годам и 6 месяцам лишения свободы в исправительной колонии общего режима, а также к исправительным работам на срок два месяца. 19 июля 2022 г. Пермский краевой суд, рассмотрев апелляционную жалобу бывшего депутата на приговор, увеличил срок исправительных работ с двух до четырех месяцев. Наказание в виде 2,5 лет лишения свободы с отбыванием в колонии общего режима, осталось прежним.
26 января 2023 г. седьмой кассационный суд общей юрисдикции изменил приговор Алексею Бурнашову, осужденному на 2 года 6 месяцев за нападение на сотрудника ДПС и его публичное оскорбление. Суд исключил осуждение по ст. 319 УК РФ ("Публичное оскорбление представителя власти") и снизил срок наказания на 1 месяц - до 2 лет и 5 месяцев.