Родился 29 июля 1936 г. во Владивостоке.
В 1959 г. окончил Московский институт нефтехимической и газовой промышленности им. И.М. Губкина (МИНХ и ГП им. И.М. Губкина; ныне Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина) по специальности "геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых" (квалификация - горный инженер-геофизик).
Доктор геолого-минералогических наук (1970; диссертацию на тему "Геохимия стабильных изотопов углерода" защитил в Институте геохимии и аналитической химии им. В.И. Вернадского Академии наук СССР). Профессор (1982). В 1991 г. был избран членом-корреспондентом, а в 1994 г. - академиком Российской академии наук (РАН).
После окончания института, с 1959 г. по 1966 г. работал инженером-оператором в тресте "Спецгеофизика" Министерства геологии СССР. Был начальником Прикаспийской геофизической экспедиции в западную часть Казахстана (1960-1963).
Одновременно в 1959-1966 гг. был научным сотрудником кафедры промысловой геофизики МИНХ и ГП им. И.М. Губкина. В 1966 г. организовал в институте лабораторию масс-спектрометрии и возглавлял ее до 1976 г.
В 1972 г. по предложению академика АН СССР Александра Виноградова создал в Институте геохимии и аналитической химии им. В.И. Вернадского (ГЕОХИ) АН СССР (ныне РАН) лабораторию геохимии углерода и в 1973 г. стал ее заведующим. В конце 1992 г. избран директором ГЕОХИ и возглавлял институт до апреля 2015 г. Поводом снятия с должности послужила критика Галимовым Федерального агентства научных организаций (ФАНО), которому было передано управление имуществом научных институтов в рамках реформы РАН. В мае 2015 г. был возвращен в ГЕОХИ в качестве научного руководителя института. Является председателем ученого совета ГЕОХИ, входит в состав диссертационного совета.
С 1993 г. - профессор Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (МГУ), в настоящее время - почетный профессор МГУ.
В 1996 г. был избран вице-президентом Международной ассоциации геохимии и космохимии, а в 2000-2004 гг. являлся президентом этой ассоциации.
Входил в состав бюро Совета РАН по космосу. В 2002-2013 гг. был членом Президиума академии наук. Являлся членом Отделения наук о Земле РАН, председателем Научного совета по проблемам геохимии, Комитета по метеоритам (с 2003 г.), Комиссии по разработке научного наследия академика В.И. Вернадского.
Занимал пост главного редактора журнала РАН "Геохимия" (с 2005 г.), был членом редколлегии журнала "Биосфера", а также ряда международных научных журналов.
Эрик Михайлович Галимов был специалистом в области изотопной геологии, органической геохимии, планетологии. Заложил основы такого направления науки, как органическая геохимия изотопов. Основал научную школу "Глобальный цикл углерода: мантия-кора-океан-атмосфера". Вместе с химиками Анатолием Бучаченко, Юрием Молиным и Ренадом Сагдеевым (впоследствии они стали академиками) открыл ядерно-спиновый изотопный эффект (зарегистрирован как научное открытие в 1976 г.). На базе исследования изотопного состава алмазов большинства месторождений мира теоретически доказал (1973) и экспериментально подтвердил (2003) возможность образования алмазов в процессе кавитации (кавитационный синтез алмазов). Предложил принципиально новый метод оценки запасов нефти и газа и планирования геологоразведочных работ - на основе изотопов углерода (1986).
Принимал участие в международных проектах по глубоководному бурению и исследованию геохимических процессов осадочных пород дна Мирового океана в рамках экспедиций на американских буровых суднах Glomar Challenger ("Гломар Челленджер"; 1976) и JOIDES Resolution ("ДЖОИДЕС Резолюшн", 1992). Возглавлял советскую океанографическую экспедицию на научно-исследовательском судне "Академик Борис Петров" (1990). Осуществлял руководство проектами по экогеохимии и радиоэкологии, в рамках которых в 1996 г. и 1999 г. состоялись морские экспедиции на Карское море.
Был участником и руководителем работ по отечественным проектам космических исследований Луны и Марса, был председателем Международной рабочей группы по исследованию Луны (International Lunar Exploration Working Group, ILEWG; 1996-2000). Исследовал изотопный состав углерода лунного грунта, который был доставлен в 1970 г. автоматической межпланетной станцией (АМС) "Луна-16". ГЕОХИ во главе с Эриком Галимовым проводил работы по проектам "МАРС-96" (запущенная в 1996 г. АМС не вышла на траекторию полета), "Фобос-Грунт" (вновь неудачный запуск в 2011 г.; АМС предназначалась для доставки образцов грунта со спутника Марса - Фобоса), "Луна-Глоб" (запуск АМС, получивший название "Луна-25", планируется на 2021 г.).
Скончался 24 ноября 2020 г.
Лауреат Государственной премии РФ в области науки и технологий 2015 г. (за разработку научного направления "Геохимия изотопов углерода", теории образования алмазов, за исследования в области нефтегазовой геологии и биогеохимических процессов). Награжден орденами "Знак Почета" (1986) и Почета (1999).
Был отмечен наградой РАН - премией им. В.И. Вернадского (1984; за серию работ по биологическому фракционированию изотопов и изотопным методам решения проблем нефтегазовой геохимии).
За достижения в области органической геохимии удостоен медали Альфреда Трейбса (Treibs Medal; 2004) Международного геохимического общества.
Являлся членом Академии горных наук, почетным членом ряда зарубежных академий и научных обществ.
Был автором и соавтор более 500 опубликованных научных работ, ряда изобретений и одного открытия. Среди его трудов "Геохимия стабильных изотопов углерода" (1968), "Изотопы углерода в нефтегазовой геологии" (1973), "Кавитация как механизм синтеза природных алмазов" (1973), "Исследование органического вещества и газов в осадочной толще дна Мирового океана" (1982; в соавторстве с кандидатом биологических наук Людмилой Кодиной), "Природа биологического фракционирования изотопов" (1984), "Вариации изотопного состава алмазов и связь их с условиями алмазообразования" (1984), "Феномен жизни: между равновесием и нелинейностью. Происхождение и принципы эволюции" (2001) и др. Был составителем и редактором первого 24-томного собрания сочинений академика Владимира Вернадского (2013).
Был женат. Супруга - Галина Дмитриевна Галимова, театровед. Старшая дочь - Дарья (род. 1977), выпускница журфака МГУ им. М.В. Ломоносова, телеведущая, замужем за Антоном Златопольским, генеральным директором телеканала "Россия-1". Младшая - Александра (род. 1978).