Родился 10 февраля 1948 г. на хуторе Сокольском Усть-Лабинского района Краснодарского края.
В 1969 г. окончил Орджоникидзевское высшее зенитное ракетное командное училище противовоздушной обороны им. генерала армии И. А. Плиева по специальности "радиолокационные устройства".
После окончания училища и до 1992 г. служил в Вооруженных силах СССР, службу проходил на границе. После выхода на пенсию по выслуге лет занимался предпринимательской деятельностью.
В 1996-1997 гг. работал экспертом банка "Московский деловой мир".
В 1997 г. был назначен на должность заместителя финансового директора ООО "Сибирский алюминий" (с 2001 г. - группа "Базовый элемент" Олега Дерипаски), занимал пост руководителя управления учета и перераспределения денежных средств финансового департамента компании.
С 1997 по 2002 г. - руководитель аграрного холдинга компании "Базовый элемент" (г. Усть-Лабинск, Краснодарский край). На его базе в 2002 г. был учрежден Агрохолдинг "Кубань" (учредители - Олег Дерипаска и сын Алексея Езубова Петр).
Одновременно в 2001 г. занимал пост финансового директора АО "Сибирская инвестиционная компания".
С 2002 г. был генеральным директором некоммерческого фонда "Фиделитас".
Входил в советы директоров различных компаний и организаций, в том числе Московского завода обработки цветных металлов, Саянского алюминиевого завода, Автогазбанка, ООО "Управляющая компания АгроХолдинг "Кубань", благотворительного Фонда Олега Дерипаски "Вольное дело", фонда "Историко-культурное наследие Кубани" и др. Возглавлял совет директоров племзавода "Кубань".
В 2007-2016 гг. - депутат Государственной думы РФ V и VI созыва. Избирался 2 декабря 2007 г. и 4 декабря 2011 г. по списку партии "Единая Россия" от Краснодарского края. Входил в партийную фракцию, был членом комитетов по аграрным вопросам, по жилищной политике и жилищно-коммунальному хозяйству.
В 2016-2021 гг. – депутат Государственной думы РФ VII созыва. 18 сентября 2016 г. был избран депутатом Госдумы от "Единой России" по Тихорецкому одномандатному избирательному округу №51 (Краснодарский край). Получил 67,69% голосов, его ближайший соперник от КПРФ Александр Нагнибеда – 9,73%. В Думе Алексей Езубов вошел во фракцию "Единая Россия".
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва от "Единой России". Был избран 19 сентября 2021 г. по Тихорецкому одномандатному избирательному округу №51 (Краснодарский край). Набрал 72,76% голосов (второе место в округе занял замгендиректора ООО "Агрос" Артем Белобрицкий от КПРФ, 10,74%).
Награжден медалями "За боевые заслуги", "За безупречную службу в Вооруженных Силах СССР" I, II и III степеней, орденом Русской православной церкви Преподобного Сергия Радонежского III степени. Имеет благодарности правительства РФ.
Ветеран Вооруженных Сил СССР.