Родился 28 августа 1957 г. в Загребе.
В 1980 г. окончил юридический факультет Загребского университета, а в 1983 г. - Музыкальную академию Загреба.
В 1994 г. получил докторскую степень. Защитил диссертацию на тему "Право на арест и содержание под стражей в уголовно-процессуальном праве".
Политическую карьеру начал в 1980 г., вступив в партию Союз коммунистов Хорватии.
В 1990 г. участвовал в ее преобразовании в Социал-демократическую партию Хорватии, был автором ее устава.
В 1994 г. вышел из состава Социал-демократической партии, занявшись юриспруденцией и композиторской деятельностью.
В 1994-1997 гг. был профессором Музыкальной академии в Загребе.
Возвращение в политику состоялось в 2003 г., когда он был избран в парламент (как независимый кандидат, переизбран в 2007 г.). Работал в комитетах по законодательству, судебной системе и конституции, регламенту и политической системе, был членом комиссии по конфликту интересов. В качестве независимого эксперта участвовал в разработке законов относительно сотрудничества страны с Международным трибуналом по бывшей Югославии. Кроме того, представлял Хорватию в Международном суде ООН, в качестве эксперта Совета Европы участвовал в оценке состояния тюрем на Украине, в Монголии и Азербайджане.
В 2009 г. вернулся в ряды Социал-демократической партии Хорватии, став кандидатом в президенты от этой партии.
10 января 2010 г. в ходе второго тура президентских выборов получил более 60% голосов избирателей и был избран президентом Хорватии (вступил в должность 18 февраля 2010 г.). Во время его президентства Хорватия стала членом Европейского союза (с 1 июля 2013 г.).
В декабре 2014 г. Йосипович баллотировался на пост президента от Социал-демократической партии Хорватии.
В первом туре очередных президентских выборов (28 декабря 2014 г.) занял первое место (38,46 проц). Во втором туре (11 января 2015 г.) проиграл кандидату от правоцентристской партии "Хорватское демократическое содружество" Колинде Грабар-Китарович, набрав 49,26 проц голосов.
Член национальных и международных юридических и художественных ассоциаций, а также Всемирной академии искусств и наук. Руководил фестивалем "Музыкальная биеннале" в Загребе и другими европейскими музыкальными форумами.
Кавалер ордена Хорватской звезды с ликом Марка Марулича.
Имеет международные премии в области музыки, в том числе - приз Европейского теле - и радиовещательного союза Samba da Camera (1985).
Почетный доктор Российского государственного университета им. Иммануила Канта (Калининград, 2010).
Автор 85 научных и экспертных работ по уголовному праву.
Владеет английским и немецким языками.
Супруга - Татьяна (профессор гражданского права), дочь - Лана.
Увлекается футболом, фотографией.