Родился 10 декабря 1975 г. в Горьком (ныне – Нижний Новгород).
В 1998 г. окончил факультет государственного и муниципального управления Волго-Вятской академии государственной службы (с 2010 г. – Нижегородский институт управления в составе Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ), затем обучался в аспирантуре той же академии по специальности "социальная философия".
Одновременно с учебой начал работать в сфере политтехнологий. В 1998 г. руководил избирательной кампанией Александра Шаронова, кандидата в депутаты Законодательного собрания Нижегородской области, председателя правления НБД-банка.
После окончания вуза работал в компании "Сибнефть". В 1999 и 2000 гг. руководил кампаниями Романа Абрамовича по выборам в Государственную думу РФ III созыва и на губернаторских выборах в Чукотском автономном округе (АО), также был заместителем руководителя генерального штаба избирательного блока "Единство" на выборах в Государственную думу III созыва.
С января 2000 г. по январь 2001 г. - помощник депутата Госдумы РФ Романа Абрамовича.
С 2001 по 2003 г. – начальник управления по делам печати, электронных СМИ и связям с общественностью администрации Чукотского АО, начальник департамента культуры, молодежи, спорта, туризма и информационной политики правительства Чукотки, министр правительства Чукотского АО.
В марте 2002 г. стал секретарем Чукотского регионального политического совета партии "Единая Россия".
7 декабря 2003 г. был избран депутатом Государственной думы РФ IV созыва по общефедеральному списку партии "Единая Россия" (№5 в региональной группе "Средне-Волжская"). Член фракции "Единая Россия". Входил в состав комитета Госдумы по гражданскому, уголовному, арбитражному и процессуальному законодательству.
В 2004 г. возглавил правление фонда "Национальная академия футбола". С 2006 г. - вице-президент Российского футбольного союза по развитию. Один из инициаторов приглашения на должность главного тренера сборной России по футболу Гуса Хиддинка.
В 2006–2011 гг. входил в состав генерального совета партии "Единая Россия".
В 2007 г. на выборах в Госдуму РФ V созыва вошел в состав регионального списка партии "Единая Россия" от Магаданской области и Чукотского АО под вторым номером (первым был губернатор Магаданской области Николай Дудов). 2 декабря 2007 г. стал депутатом Госдумы, получив мандат, от которого после выборов отказался президент РФ Владимир Путин (возглавлял федеральный список "Единой России"). В Думе Сергей Капков входил во фракцию "Единая Россия". В 2008-2011 гг. был первым заместителем председателя комитета по информационной политике, информационным технологиям и связи. Депутатские полномочия сложил досрочно в 2011 г.
В марте 2011 г. был назначен на должность директора государственного казенного учреждения города Москвы "Центральный парк культуры и отдыха им. М. Горького". Под его руководством в парке была начата работа по демонтированию изношенных аттракционов, комплексному благоустройству и озеленению, созданию условий для занятия бегом, катания на велосипедах и роликах, тренировок на открытом воздухе и др. Вход на территорию стал бесплатным.
В августе 2011 г. Сергей Капков был назначен заместителем руководителя Департамента культуры Москвы Сергея Худякова. Курировал государственное казенное учреждение "Объединенная дирекция по развитию парков культуры и отдыха" в правительстве Москвы.
С сентября 2011 г. по май 2012 г. - руководитель Департамента культуры города Москвы.
С мая 2012 г. по 10 марта 2015 г. - министр правительства Москвы, руководитель городского Департамента культуры. При его участии были реализованы проекты по созданию пешеходных зон в историческом центре города, благоустройства московских парков, развития городских музеев. Стал одним из инициаторов развития велодвижения в столице: впервые в городе были проложены велодорожки, открыты велопрокаты.
С 2015 г. - заведующий учебно-научной лабораторией "Центр исследований экономики культуры, городского развития и креативных индустрий" на экономическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
Входил в состав высшего совета партии "Единая Россия" до февраля 2016 г.
Дважды был женат. Первая супруга - фотомодель, ведущая телеканала "Россия 24" Екатерина Гринчевская. В 2015 г. Сергей Капков женился на Софье Гудковой, которая возглавляла Центр документального кино, ранее работала в РИА "Новости", на Первом канале, телекомпании НТВ и др. В 2019 г. супруги развелись. Имеет троих детей: дочь Софья и сын Иван от первого брака, дочь Зои (род. 2017) - от второго. Софья Гудкова также имеет двоих детей от первого брака (с бывшим депутатом Госдумы Дмитрием Гудковым) - дочь Настю и сына Ивана.