Родился 29 октября 1967 г. в Москве.
В 1990 г. окончил Московский физико-технический институт по специальности "прикладная математика и физика", получив квалификацию "инженера-физика".
Во время учебы возглавлял комсомольскую организацию курса, был командиром штаба студенческих строительных отрядов по Московской области.
С четвертого курса работал инженером в Центральном институте авиационного моторостроения им. П. И. Баранова (ныне в состав Национального исследовательского центра "Институт имени Н. Е. Жуковского", Москва).
С 1991 по 1996 г. - заместитель директора, затем директор московского филиала Тверьуниверсалбанка. Возглавлял департамента банка по клиентской политике.
С 1996 г. работал заместителем директора по экономическим вопросам Института проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук.
В 1997-1999 гг. - советник генерального директора ЗАО "Коми ТЭК-Москва", вице-президент ОАО НК "Коми-ТЭК" (компания существовала в 1994-2002 гг., обеспечивала нефтепродуктами Республику Коми, Архангельскую область и Ненецкий АО; глава - Григорий Березкин).
В 1999-2000 гг. - исполнительный директор исследовательского фонда "Институт социальных и правовых проблем".
В 2000-2005 гг. - депутат Московской областной думы II и III созывов от Наро-Фоминского избирательного округа №22.
Избирался 10 сентября 2000 г. в ходе дополнительных выборов (получил 66,45%) и 16 декабря 2001 г. (53,89%; второе место - самовыдвиженец Александр Злобин, 2,31%). Баллотировался от группы избирателей. В 2000 г. был членом комитета Мособолдумы по вопросам бюджета, финансовой и налоговой политики, с 2001 г. возглавлял данный комитет.
Одновременно с исполнением депутатских полномочий был вице-президентом Торгово-промышленной палаты Московской области.
В 2003 г. стал одним из учредителей и главой Московского областного фонда содействия Вооруженным силам.
В 2005 г. вошел в политсовет Тверского регионального отделения Всероссийской политической партии "Единая Россия". В марте 2008 г. был избран секретарем политсовета.
В 2005-2016 гг. - депутат, председатель Законодательного собрания Тверской области IV, V и VI созывов.
На выборах 18 декабря 2005 г. баллотировался от партии "Единая Россия" по Кимрскому избирательному округу №9, набрал 40,68% голосов (второе место занял самовыдвиженец Федор Пенкин, депутат заксобрания, журналист, - 18,57%). 29 декабря 2005 г. избран председателем регионального парламента.
13 марта 2011 г. Андрей Епишин стал депутатом Тверского заксобрания V созыва по Кимрскому округу №13. В выборах участвовал от партии "Единая Россия", получил 61,6% голосов (его ближайший конкурент от КПРФ, депутат Кимрской гордумы Алексей Крестников, - 17,96%). 29 марта 2011 г. вновь занял пост председателя областного парламента.
18 сентября 2016 г. был избран в Законодательное собрание Тверской области VI созыва по Кимрскому округу №12. Баллотировался от "Единой России", набрал 52,69% голосов (второе место - кандидат от КПРФ, журналист, депутат Кимрской гордумы Владимир Баженов - 18,81%). 3 октября 2016 г. сложил полномочия досрочно в связи с переходом в Совет Федерации РФ.
Входил в Совет безопасности и Антитеррористическую комиссию Тверской области, был сопредседателем Объединенной комиссии Московской областной думы и Законодательного собрания Тверской области по координации законотворческой деятельности.
3 октября 2016 г. Законодательное собрание Тверской области наделило Андрея Епишина полномочиями члена Совета Федерации РФ - представителя от законодательного органа власти региона. 29 октября того же года он приступил к исполнению полномочий сенатора. Вновь наделен полномочиями сенатора 14 октября 2021 г.
Президент Тверской региональной общественной организации "Дзюдо" (с 2005 г.).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени. Имеет благодарности президента (2007) и правительства РФ (2019), Почетные грамоты президента (2022) и правительства РФ (2023).