Родился 19 октября 1918 г. в Екатеринославе (ныне гор. Днепр, Украина). Его отец, Аркадий (Арон) Самойлович Гинзбург, был экономистом. Мать, Фанни (Фейга) Борисовна Векслер, работала администратором в музыкальном училище.
В ноябре 1918 г. семья переехала в Севастополь, в 1923 г. - в Москву.
С 1930 г. Александр занимался в детской литературной бригаде при газете "Пионерская правда".
23 мая 1932 г. в "Пионерской правде" было опубликовано его первое стихотворение - "Мир в рупоре".
В 1935 г. одновременно поступил в Литературный институт и Оперно-драматическую студию Константина Станиславского. На протяжении года совмещал учебу в них, после чего оставил Литинститут. В 1939 г., через год после смерти Станиславского, ушел из Оперно-драматической студии, не окончив ее.
С 1939 г. занимался в Театре-студии Алексея Арбузова и Валентина Плучека. В 1940 г. стал соавтором спектакля "Город на заре", получившего широкую известность в московской театральной среде. Исполнил в постановке роль секретаря комсомольской организации.
В 1941 г., после начала Великой Отечественной войны, был призван в армию, однако не прошел медкомиссию. Устроился коллектором в геологоразведочную партию, уехал в ее составе на Северный Кавказ. В гор. Грозном (Чечено-Ингушская АССР, ныне Чеченская Республика) после знакомства с журналистом Матвеем Грином получил должность заведующего литчастью местного драматического театра (ныне Государственный русский драматический театр им. М. Ю. Лермонтова). Писал песни и интермедии для спектаклей, также выступал в качестве актера.
В декабре 1941 г. приехал в гор. Чирчик (Узбекская ССР, ныне Республика Узбекистан), куда был эвакуирован коллектив московской студии под руководством Валентина Плучека. Писал песни для спектаклей и исполнял в них различные роли. Вскоре студия получила статус фронтового театра. Коллектив выступал перед бойцами действующей армии на Центральном и Западном фронтах.
После окончания войны Александр Галич работал в качестве драматурга (псевдоним, образованный из букв фамилии, имени и отчества, взял в 1946 г.). Спектакли по его пьесам "Вас вызывает Таймыр" (написана в соавторстве с Константином Исаевым), "За час до рассвета", "Пароход зовут "Орленок" шли на театральных сценах разных городов СССР.
В 1955 г. Александр Галич был принят в Союз писателей, в 1958 г. - в Союз кинематографистов СССР.
С середины 1950-х гг. писал киносценарии. Принимал участие в работе над фильмами "Верные друзья" (1954, режиссер Михаил Калатозов), "Сердце бьется вновь..." (1956, Абрам Роом), "Трижды воскресший" (1960, Леонид Гайдай), "На семи ветрах" (1962, Станислав Ростоцкий), "Государственный преступник" (1964, Николай Розанцев), "Дайте жалобную книгу" (1965, Эльдар Рязанов), "Вас вызывает Таймыр" (1970, Алексей Коренев) и др. За создание сценария фильма "Государственный преступник" был удостоен почетной грамоты Комитета государственной безопасности СССР (1964).
В 1958 г. постановка пьесы Галича "Матросская тишина", которую готовила Студия молодых актеров (ныне Московский театр "Современник"), была запрещена к показу. Решение приняли после генеральной репетиции, на которой присутствовали чиновники ЦК КПСС и московского горкома партии. Негласным поводом к запрету послужила еврейская линия сюжета.
В 1959 г. Александр Галич обратился к жанру авторской песни. Он исполнял произведения собственного сочинения под аккомпанемент гитары. Его песни и баллады, неофициально распространявшиеся в магнитных записях, носили как сатирический ("Леночка", " Про маляров, истопника и теорию относительности", "Красный треугольник", "Баллада о том, как едва не сошел с ума директор антикварного магазина Копылов Н. А." и др.), так и философский, социально-публицистический характер ("Ошибка", "Промолчи", "Памяти Бориса Пастернака", "Петербургский романс", "Поэма о Сталине" и др.).
В марте 1968 г. на бардовском фестивале в Новосибирске состоялось единственное официальное публичное выступление Галича. Среди прочих произведений он исполнил песни "Промолчи" и "Памяти Бориса Пастернака". Выступление было подвергнуто критике со стороны партийных органов, а также в периодической печати.
В 1969 г. в эмигрантском антикоммунистическом издательстве "Посев" (Франкфурт-на-Майне, ФРГ) вышла первая книга Галича - сборник "Песни". Это привело к ухудшению отношений между поэтом и советскими властями. В 1972 г. Александр Галич был исключен из Союза писателей и Союза кинематографистов СССР.
В 1973 г. Александр Галич принял православие. В Сретенском храме в Новой Деревне (гор. Пушкино Московской области) его крестил священник Александр Мень.
В июне 1974 г. Галич, испытывавший давление со стороны властей, выехал из СССР по израильской визе и был лишен советского гражданства. В том же году постановлением Главного управления по делам литературы и издательств по согласованию с ЦК КПСС ранее изданные произведения Галича были запрещены в Советском Союзе.
В 1974-1976 гг. проживал в Хёвике (пригород Осло, Норвегия) и Мюнхене (ФРГ). Вступил в политическую эмигрантскую организацию "Народно-трудовой союз". Работал на радиостанции "Свобода", выступал с песенными гастролями в Швейцарии, Бельгии, Франции, США, Израиле.
В 1974 г. Александр Галич записал в Норвегии музыкальную пластинку "Крик шепотом". В том же году издательство "Посев" выпустило его автобиографическую повесть "Генеральная репетиция". В ней Галич описал историю запрета постановки "Матросской тишины" в 1958 г.
С конца 1976 г. поэт проживал и работал в Париже (Франция).
15 декабря 1977 г. Александр Галич погиб на 60-м году жизни в результате несчастного случая в своей парижской квартире. Он получил удар током при подключении антенны к телевизору. Был похоронен на кладбище Сент-Женевьев-де-Буа в пригороде Парижа.
В 1988 г. Александра Галича посмертно восстановили в Союзе писателей и Союзе кинематографистов СССР, в 1993 г. ему было посмертно возвращено гражданство РФ.
В 1988 г. впервые в СССР пьеса "Матросская тишина" была поставлена выпускным курсом Школы-студии МХАТ под руководством Олега Табакова. В 1989 г. фирма грамзаписи "Мелодия" выпустила музыкальную пластинку "Когда я вернусь" с песнями Александра Галича. В том же году в Москве издательство Агентства печати "Новости" опубликовало сборник избранных стихотворений поэта.
В общей сложности Александр Галич написал более 170 песен. Его поэтические сборники изданы в России и за рубежом. Произведения Галича переведены на английский, немецкий и норвежский языки.
Александр Галич был дважды женат. Первая супруга - Валентина Архангельская. Дочь - заслуженная артистка РФ Алена Галич-Архангельская (род. 1943). Второй женой была Ангелина Шекрот. Внебрачный сын - Григорий Михнов-Вайтенко (род. 1967). Его матерью была художник по костюмам Софья Михнова-Войтенко.
На фасаде московского дома (ул. Черняховского, д. 4), в котором поэт проживал в 1956-1974 гг., установлена мемориальная доска.
Его жизни и творчеству посвящены документальные фильмы "Александр Галич. Изгнание" (1989, режиссер Иосиф Пастернак) и "Навсегда отстегните ремни" (2018, Елена Якович), а также книги "Заклинание добра и зла" (1992, составитель Нина Крейтнер) и "Александр Галич" (2012, Михаил Аронов).
В 2004 г. актер и режиссер Владимир Машков снял по пьесе Александра Галича "Матросская тишина" художественный фильм "Папа" и исполнил в нем главную роль.