Родился 23 марта 1943 г. в селе Меделевка Житомирской области (Украинская ССР, ныне Украина), во время Великой Отечественной войны на оккупированной немцами территории. Среднюю школу окончил в Москве.

Образование, ученые звания
В 1966 г. получил квалификацию врача-лечебника по окончании лечебного факультета 2-го Московского медицинского института им. Н. И. Пирогова (2-й ММИ; ныне Российский национальный исследовательский медицинский университет им. Н. И. Пирогова). В 1970 г. окончил аспирантуру Института медико-биологических проблем Минздрава СССР (ныне ИМБП РАН.

Доктор медицинских наук. В 1970 г. в ИМБП защитил кандидатскую диссертацию на тему "Влияние длительной экспериментальной гипокинезии и условий космического полета на функциональное состояние почек человека", в 1980 г. - докторскую на тему "Регуляция водно-электролитного обмена и функции почек у человека при космических полетах".
В 1989 г. ему было присвоено звание профессора.
В 1988 г. Анатолий Григорьев был избран членом-корреспондентом Академии медицинских наук СССР (впоследствии - Российская академия медицинских наук, РАМН), в 1993 г. - академик РАМН. В 1990 г. ученого избрали членом-корреспондентом Академии наук СССР (ныне Российская академия наук, РАН) по Отделению физиологии, в 1997 г. - академиком РАН.

Деятельность
Окончив 2-й ММИ, с 1966 г. Анатолий Григорьев около года работал врачом-испытателем в Институте медико-биологических проблем, созданном для медицинского обеспечения будущих космонавтов. После аспирантуры остался в ИМБП. Был младшим (1970-1973), затем старшим (1973-1978) научным сотрудником. С 1978 г. заведовал лабораторией, с 1980 г. - отделом.
В 1983-1988 гг. был первым заместителем директора по науке ИМБП академика Олега Газенко. После ухода Газенко с поста, с 1988 по 2008 г. возглавлял Институт медико-биологических проблем. С октября 2008 г. являлся научным руководителем ИМБП.
В период с 1983 по 2008 г. Анатолий Григорьев руководил медицинским обеспечением космических полетов на орбитальных станциях "Салют-7", "Мир" и Международной космической станции (МКС). Был главой медкомиссии по освидетельствованию кандидатов в космонавты и космонавтов, главным медицинским специалистом Роскосмоса.
В 1993-2005 гг. - председатель научного совета по космической медицине РАМН.
В 1996 г. Анатолий Григорьев инициировал создание кафедры экологической и экстремальной медицины на факультете фундаментальной медицины Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова. Заведовал кафедрой с момента ее образования, входил в состав ученого совета факультета фундаментальной медицины МГУ.
С 1997 г. являлся членом Отделения биологических наук РАН. В 2002-2009 гг. был академиком-секретарем этого отделения.
С 2001 г. был членом президиума Российской академии наук.
В 2007-2008 гг. - и. о. вице-президента, в 2008-2017 гг. - вице-президент РАН.
Являлся советником РАН, председателем научного совета "Космическая биология и физиология".
Возглавлял редакцию журналов "Авиакосмическая и экологическая медицина", "Физиология человека" РАН.
Входил в состав Совета при президенте РФ по науке, технологиям и образованию, был членом попечительского совета Российского научного фонда.
Александр Григорьев скончался 11 февраля 2023 г. на 80-м году жизни после тяжелой и продолжительной болезни.
Вклад в науку
Анатолий Григорьев был специалистом в области космической биологии и медицины, проблем адаптации основных функций организма в условиях космического полета, одним из основоположников гравитационной физиологии.
При его непосредственном участии и под руководством в ИМБП были выполнены исследования основных функций человека, а также животных в космических полетах и наземных экспериментах (проекты "Биоспутник", "Марс-500"), разработана и внедрена в практику система медицинского обеспечения длительных космических полетов. По инициативе и участии Григорьева была сформирована комплексная научная "программа врача", успешно реализованная в рекордном 438-суточном полете врача-космонавта Валерия Полякова на станции "Мир" (1994-1995). Проведенные под руководством Анатолия Григорьева исследования по изучению состояния костной ткани космонавтов и испытателей позволили разработать и внедрить перспективные подходы к лечению остеопороза, детского церебрального паралича и др. неврологических заболеваний. Его работы легли в основу создания аппаратов и методов для лечения декомпрессионных расстройств кислородно-гелиевыми смесями, создания отечественной телемедицины.
Был автором и соавтором более 400 научных публикаций (в т. ч. 13 коллективных монографий), более 70 патентов и авторских свидетельств на изобретения. Среди публикаций ученого: "Водно-солевой гомеостаз и космический полет" (1986), "Минеральный обмен у человека в условиях измененной гравитации" (1994), "Длительные космические полеты" (1997), "Изменения обмена кальция и его регуляция у человека во время длительного космического полета" (1998), "Клиническая телемедицина" (2001), "Концепция здоровья в космической медицине" (2007), "Особенности функционирования сердечно-сосудистой системы человека в условиях космического полета" (2009), "Эксперимент по моделированию пилотируемого полета на Марс" (2012), "Медико-биологические проблемы пилотируемой экспедиции на Марс" (2014), "Цели и задачи освоения Луны" (2014), "К вопросу о "радиационном барьере" при пилотируемых межпланетных полетах" (2017) и др.

Награды, почетные звания
Лауреат Государственной премии СССР (1989), Государственных премий РФ в области науки и техники 2001 г. (за работу "Управление движением при сенсорных нарушениях в условиях микрогравитации и информационное обеспечение максиминного контроля качества визуальной стабилизации космических объектов" в составе авторского коллектива) и в области науки и технологий 2013 г. ("за научное обоснование, разработку и практическую реализацию системы медицинского обеспечения экипажей при длительных космических полетах"). Также был удостоен двух премий правительства РФ в области науки и техники (1996, 2003).
Был награжден орденами "Знак Почета" (1976), Трудового Красного Знамени (1982), "За заслуги перед Отечеством" II, III и IV cтепеней (2013, 2008, 2003), почетной грамотой правительства РФ (2013).
Зарубежные награды: орден "Знамя Труда" (ГДР; 1985), орден Достык (Дружбы) II cтепени (Казахстан; 2001), офицер ордена Почетного легиона (Франция; 2004) и др.
Заслуги ученого были отмечены именными премиями В. В. Парина (РАМН; 1996, 2003), А. А. Ухтомского (РАН; 2009), Л. А. Орбели (РАН; 2013), М. В. Ломоносова I степени (МГУ; 2014), а также общественными премиями "Триумф" (2006), Демидовской (2008), "Призвание" (2009).
Был награжден золотой медалью имени И. М. Сеченова РАН (2014), медалями С. П. Королева (1984) и Ю. А. Гагарина (1987) Федерации космонавтики СССР и др.
Являлся действительным членом Международной академии астронавтики (1985; в 1993-2003 гг. - вице-президент академии), Российской академии естественных наук (1996), Академии космонавтики им. К. Э. Циолковского (1997). Был вице-президентом Международной астронавтической федерации (2004-2008).
Заслуженный деятель науки РФ (1996). Был удостоен звания почетного доктора Лионского университета (Франция; 1989).