Родился 2 мая 1924 г. в Тифлисе (Грузинская ССР в составе Закавказской Советской Федеративной Социалистической Республики; ныне Тбилиси, Грузия). В том же году его семья переехала в Ленинград (ныне Санкт-Петербург).

В детстве Алексей Муравлев учился играть на фортепиано под руководством матери, в восемь лет начал сочинять музыку.
В 1932 г. был принят в Особую группу одаренных детей при Ленинградской консерватории (ныне Санкт-Петербургская государственная консерватория им. Н. А. Римского-Корсакова) по фортепианному классу педагога Паулины Линде. В 1936-1941 гг. занимался под ее руководством в Музыкальной школе-десятилетке при Ленинградской консерватории (ныне Средняя специальная музыкальная школа Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова).
В 1941 г. после начала Великой Отечественной войны Алексей Муравлев вместе с родителями был эвакуирован в Свердловск (ныне Екатеринбург), где поступил местную в консерваторию на два факультета - композиторский (класс профессора Маркиана Фролова) и фортепианный (класс заслуженной артистки РСФСР Надежды Голубовской). В 1942 г. в возрасте 18 лет стал самым молодым членом Союза композиторов СССР. Этому способствовала высокая оценка его одночастного квартета, представленного весной того же года на экзамене по композиции. Произведение было исполнено струнным квартетом имени Жана Батиста Вильома (киевский коллектив, находившийся в то время в Свердловске).
В 1944 г. Алексей Муравлев был переведен в Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского, где продолжил обучение по двум выбранным направлениям.

В 1945 г. в Свердловской консерватории состоялась премьера симфонии-баллады Алексея Муравлева "Азов-гора". В 1947 г. он получил первую премию конкурса молодых композиторов в рамках I Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Праге (Чехословакия, ныне Чехия) за фортепианный цикл "Уральские сказы".
Из-за травмы руки оставил карьеру пианиста, с отличием окончил Московскую консерваторию в 1949 г. по классу композиции профессора Юрия Шапорина.
С 1950-х гг. Алексей Муравлев сочинял музыку для кино. Она звучит в нескольких десятках фильмов. В их числе: "Белый пудель" по произведению Александра Куприна (1955, режиссеры Марианна Рошаль и Владимир Шредель), "Дом с мезонином" по рассказу Антона Чехова (1960, Яков Базелян), "Тучи над Борском" (1960, Василий Ордынский), "Волшебная лампа Аладдина" (1966, Борис Рыцарев), "Черная береза" (1977, Виталий Четвериков), "Василий и Василиса" по произведению Валентина Распутина (1981, Ирина Поплавская), "Семен Дежнев" (1983, Николай Гусаров). Широкую известность получила песня "Виновата ли я" на его музыку, впервые прозвучавшая в фильме "Тучи над Борском".
Алексей Муравлев также был автором симфонических, камерно-инструментальных и хоровых произведений, сочинений для народных инструментов, музыки для театра.
В 1967-1971 гг. преподавал в Московском государственном институте культуры, в 1972-2013 гг. - в Российской академии музыки им. Гнесиных (до 1992 г. - Государственный музыкально-педагогический институт им. Гнесиных). Профессор.
Алексей Муравлев скончался 22 апреля 2023 г. в Москве на 99-м году жизни.

Заслуженный деятель искусств РСФСР (1981).

Алексей Муравлев был награжден орденами Почета (2005) и Дружбы (2014).
Лауреат Сталинской премии II степени (1950, за симфоническую поэму "Азов-гора").