Родился 21 декабря 1937 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург) в семье кинорежиссера, лауреата двух Сталинских премий Александра Михайловича Файнциммера (1906-1982). С конца 1950-х гг. в творческой деятельности преимущественно использовал фамилию матери - Квинихидзе.

В 1961 г. окончил в Москве режиссерский факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ныне - Всероссийский государственный институт кинематографии им. С. А. Герасимова). Учился в мастерской Ильи Копалина.

В 1960-1963 гг. работал режиссером на Центральной студии документальных фильмов (Москва) и Ленинградской студии кинохроники.
В 1963-1976 гг. - режиссер-постановщик и сценарист киностудии "Ленфильм". Его дебютной полнометражной лентой стала драма о Владимире Ленине "Первый посетитель" по сценарию Даниила Гранина (1966). В дальнейшем на "Ленфильме" Квинихидзе поставил фильмы: "Моабитская тетрадь" (1968), "Миссия в Кабуле" (1971), "Крах инженера Гарина" по мотивам научно-фантастического романа Алексея Толстого "Гиперболоид инженера Гарина" (1973). Широкую известность получили его музыкальные картины "Соломенная шляпка" по водевилю Эжена Лабиша (1974) и "Небесные ласточки" по оперетте Флоримона Эрве "Мадемуазель Нитуш" (1976).
В 1977-1998 гг. - режиссер-постановщик киностудии "Мосфильм". Снял фильмы "31 июня" по мотивам повести Джона Пристли (1978), "Шляпа" (1981), "Мэри Поппинс, до свидания" по мотивам произведений Памелы Трэверс (1983), "Артистка из Грибова" (1988), "Остров" (1989) и др. Последняя кинематографическая работа - сериал "Усадьба" (2004).
После распада СССР Леонид Квинихидзе в основном работал в качестве театрального режиссера. Ранее, в 1976-1977 гг. он был художественным руководителем и главным режиссером Московского Мюзик-Холла.
В конце 1990-х гг. работал в Одесском театре музыкальной комедии (Украина).
В 2000-2002 гг. - художественный руководитель и главный режиссер Крымского украинского музыкального театра (ныне - Государственный академический музыкальный театр Республики Крым, РФ).
В 2003-2006 гг. был режиссером Новосибирского театра музыкальной комедии.
В 2006-2008 гг. являлся главным режиссером Санкт-Петербургского государственного музыкального театра "Карамболь", в 2010-2011 гг. - Хабаровского краевого музыкального театра.
Леонид Квинихидзе скончался 13 марта 2018 г. в Санкт-Петербурге на 81-м году жизни.

Являлся членом Союза кинематографистов РФ.

Заслуженный деятель искусств РФ (1993).

Лауреат российской театральной премии "Золотая маска" в номинации "Лучшая работа режиссера" (2006, за постановку "Фигаро здесь!" в Новосибирском театре музыкальной комедии).

Был дважды женат. Первая супруга - заслуженная артистка РСФСР, балерина Наталия Макарова (род. 1940). Вторая супруга - заслуженный деятель искусств РФ, балерина Екатерина Ельфимова (1965-2015).

Квинихидзе, Леонид Александрович