Родился 20 октября 1969 г. в Москве в семье профессора, доктора химических наук, специалиста в области фотохимии и биофизики Геннадия Германовича Комиссарова (1937-2016).
Учился в московской школе №875 на западе столицы, его классным руководителем был преподаватель истории Алексей Венедиктов (впоследствии - главный редактор радиостанции "Эхо Москвы"). В школьные годы посещал автокружок московского Дворца пионеров, участвовал в соревнованиях по автоспорту.
В 1986 г. поступил на дневное отделение факультета автомобильного транспорта Московского автомобильно-дорожного института (МАДИ, ныне Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет). В 1988 г. прервал обучение для прохождения срочной военной службы в танковых частях Группы советских войск в Германии. В 1990 г. вернулся в МАДИ, окончил вуз в 1994 г. по специальности "инженер по техническому обслуживанию и ремонту автомобилей".
В 2003 г. получил степень магистра делового администрирования (MBA) в Кингстонском университете (Лондон, Великобритания). В 2009-2010 гг. прошел обучение в Институте директоров (Лондон) по программе Chartered Director ("Подтвержденный директор").
В 2011 г. в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ (РАНХиГС) Алексей Комиссаров защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата экономических наук по теме "Развитие предпринимательства в условиях инновационной экономики". В 2014 г. ученая степень была аннулирована из-за обнаруженных в диссертации заимствований.
В 1990-х гг. создал и возглавил фирму "Авторемонтные системы" (ООО "АРС"; оптовая торговля лакокрасочными материалами). Являлся ее директором до 2011 г.
В 2008 г. стал победителем проекта "Кадровый резерв - профессиональная команда страны" (учредитель - партия "Единая Россия") и был включен в резерв управленческих кадров от г. Москвы.
С 2008 г. занимался венчурным финансированием. Вступил в "Национальное содружество бизнес-ангелов" (Москва), объединяющее частных инвесторов.
В 2009 г. в Академии народного хозяйства при правительстве РФ (с 2010 г. - РАНХиГС) начал вести курс предпринимательства в рамках программы МВА совместно с Кингстонским университетом.
По предложению ректора РАНХиГС Владимира Мау Алексей Комиссаров в 2010 г. создал бизнес-инкубатор InCube при Академии и возглавлял его до 2011 г.
В 2010 г. стал одним из учредителей Тверского лакокрасочного завода, являлся членом совета директоров компании (2010-2011). Председатель совета директоров Тушинского машиностроительного завода (в 2012-2013 гг., с 2014 г.).
В феврале 2011 г. был назначен руководителем Департамента поддержки и развития малого и среднего предпринимательства г. Москвы (в том же году переименован в Департамент науки, промышленной политики и предпринимательства) и занимал эту должность до августа 2014 г. Одновременно с сентября 2013 г. по август 2014 г. был министром столичного правительства. Затем до марта 2015 г. являлся советником мэра Москвы Сергея Собянина.
В 2015 г. возглавил кафедру предпринимательского лидерства им. Дмитрия Зимина в Московской школе управления "Сколково".
С марта 2015 г. по апрель 2017 г. был директором Фонда развития промышленности (учредитель - Минпромторг РФ), созданного с целью модернизации отраслей, организации новых производств и обеспечения импортозамещения.
В апреле 2017 г. был назначен проректором Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ и директором Института "Высшая школа государственного управления" РАНХиГС. Вошел в состав попечительского и ученого советов академии, стал курировать реализацию программы подготовки кадрового управленческого резерва страны.
В июне 2018 г. распоряжением руководителя Администрации президента РФ был назначен генеральным директором автономной некоммерческой организации "Россия - страна возможностей" (объединяет кадровые, социальные и образовательные проекты РФ), созданной по инициативе президента России Владимира Путина.
В ноябре 2018 г. избран сопредседателем центрального штаба общественного движения "Общероссийский народный фронт" (ОНФ; переизбран 21 декабря 2021 г.).
Распоряжением правительства РФ от 10 ноября 2020 г. Алексей Комиссаров был включен в состав наблюдательного совета Агентства стратегических инициатив (АСИ).
23 января 2023 г. после отставки Владимира Мау распоряжением правительства РФ Комиссаров был назначен исполняющим обязанности ректора РАНХиГС.
Награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2020), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" I степени (2018).
В 2010 г. стал победителем российского этапа международного конкурса "Предприниматель года" британской аудиторской компании Ernst & Young ("Эрнст энд Янг", с 2013 г. - EY) в номинации "Промышленное производство".
Почетный доктор Кингстонского университета (Великобритания, 2013).
Кандидат в мастера спорта по шоссейно-кольцевым мотогонкам (2008).
Женат, три дочери.