Родился 27 марта 1951 г. в г. Брюсселе (Бельгия) в семье советского инженера–сотрудника торгового представительства СССР.
В 1974 г. окончил Московский государственный институт международных отношений МИД СССР (ныне МГИМО Университет МИД России) по специальности "международные отношения".
Кандидат исторических наук. В 1977 г. защитил в МГИМО МИД СССР диссертацию на тему "Роль ООН в развитии разрядки (1971–1977 годы)".
В 1968–1969 гг. работал слесарем–сборщиком на машиностроительном заводе "Коммунар" в г. Москве.
Член КПСС в 1973–1991 гг.
В 1974–1979 гг. – референт, старший референт, в 1979–1980 гг. - атташе Управления международных организаций МИД СССР.
В 1980–1986 гг. – третий, второй, первый секретарь отдела того же управления.
В 1986–1990 гг. – советник, руководитель отдела, заместитель начальника, начальник Управления международных организаций МИД СССР.
С 11 октября 1990 г. по 5 января 1996 г. – министр иностранных дел РСФСР (с 25 декабря 1991 г. – РФ) в правительствах Ивана Силаева, Бориса Ельцина, Егора Гайдара и Виктора Черномырдина. Назначался на пост министра в связи с утверждением новых составов правительства 25 июля 1991 г., 14 ноября 1991 г. и 23 декабря 1992 г. В МИД РСФСР из МИД СССР пришел по приглашению председателя Совета Министров РСФСР Ивана Силаева. В декабре 1991 г. вместе Сергеем Шахраем, Егором Гайдаром и Геннадием Бурбулисом представлял РСФСР в рабочей группе, подготовившей Беловежское соглашение о прекращении существования СССР и об образовании СНГ.
С 3 июня 1992 г. по 6 февраля 1996 г. член Совета безопасности РФ.
В июне–октябре 1993 г. принимал участие в создании предвыборного блока "Выбор России", участвовал в учредительном съезде блока в октябре 1993 г.
В 1993–2000 гг. – депутат Государственной думы Федерального собрания РФ первого и второго созывов, работу в качестве депутата совмещал с постом министра иностранных дел. На выборах в Госдуму РФ первого созыва 12 декабря 1993 г. избран по Мурманскому одномандатному избирательному округу №116. Также был включен в общефедеральный список избирательного блока "Выбор России". Член фракции "Выбор России" до 11 декабря 1994 г., затем вне фракций. Вышел из фракции, т.к. вопреки позиции "Выбора России", поддержал ввод федеральных войск в Чечню. Член Комитета по международным делам.
На выборах в Госдуму РФ второго созыва 17 декабря 1995 г. избран по тому же округу, выступал в качестве независимого кандидата. В 1996–1997 гг. член Комитета по бюджету, налогам, банкам и финансам, с марта 1997 г. – член Комитета по проблемам Севера. Вне фракций.
В январе 1998 г. избран членом Совета директоров американской корпорации IСN Рhаrmасеutiсаls ("Ай-Си-Эн Фармасьютикалс"; ныне Valeant Pharmaceuticals International), с 2000 г. по 2001 г. – вице–президент компании.
В середине 2000–х гг. являлся старшим партнером инвестиционной компании Global Strategic Ventures ("Глобал Стратеджик Вэнчурс").
С 2004 г. член Совета директоров, с 19 декабря 2007 г. по 28 марта 2012 г. – председатель Совета директоров открытого акционерного общества "АКБ "Инвестторгбанк".
В настоящее время постоянно проживает в г. Майями (шт. Флорида, США).
1 марта 2022 г. Андрей Козырев в своем "Твиттере" призвал российских дипломатов уйти в отставку и не поддерживать российскую специальную военную операцию на Украине.
Член президиума Российского еврейского конгресса (с 2001 г.).
Чрезвычайный и полномочный посол (1990).
Автор книг "Нет! – торговле смертью" (1980), "Торговля оружием в политике империализма " (1985), "Мы и мир в зеркале ООН" (1991), "Преображение" (1995), воспоминаний ""Жар-птица: неуловимая судьба российской демократии" (на англ. яз., The Firebird: The Elusive Fate of Russian Democracy, 2019).
Владеет английским, французским и португальскими языками.
Женат третьим браком с 1996 г., супруга Елена (род. 1968). Двое детей: дочь от первого брака Наталья; сын Андрей, рожден в третьем браке.
Сестра – Анна Владимировна Козырева (род. 1968), журналист.